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【最新版】广西百色市2013年中考数学试卷及答案(Word解析版)

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2013 年广西百色市中考数学试卷

一、选择题(本大题共 12 小题,每小题 3 分,共 36 分.)每小题都给出代号为 A、B、C、D 的四个结论,

其中只有一个是正确的,请用 2B 铅笔在答题卷上将选定的答案代号涂黑.

1.(3 分)(2013?百色)﹣2013 的相反数是( )

A.﹣2013

B.2013

C.

D.﹣

考点: 相反数. 分析: 根据相反数的概念解答即可.
解答: 解:﹣2013 的相反数是﹣(﹣2013)=2013. 故选 B.
点评: 本题考查了相反数的意义,一个数的相反数就是在这个数前面添上“﹣”号;一个正数的相反数是负 数,一个负数的相反数是正数,0 的相反数是 0.

2.(3 分)(2013?百色)已知∠A=65°,则∠A 的补角的度数是( )

A.15°

B.35°

C.115°

D.135°

考点: 余角和补角.
分析: 根据互补两角之和为 180°求解. 解答: 解:∵∠A=65°,
∴∠A 的补角=180°﹣∠A=180°﹣65°=115°. 故选 C. 点评: 本题考查了余角和补角的知识,解答本题的关键是掌握互补两角之和为 180°.

3.(3 分)(2013?百色)百色市人民政府在 2013 年工作报告中提出,今年将继续实施十项为民办实事工程.其

中教育惠民工程将投资 2.82 亿元,用于职业培训、扩大农村学前教育资源、农村义务教育学生营养改善计

划、学生资助等项目.那么数据 282 000 000 用科学记数法(保留两个有效数字)表示为( )

A.2.82×108

B.2.8×108

C.2.82×109

D.2.8×109

考点: 科学记数法与有效数字. 分析: 科学记数法的表示形式为 a×10n 的形式,其中 1≤|a|<10,n 为整数.确定 n 的值是易错点,由于 282
000 000 有 9 位,所以可以确定 n=9﹣1=8.有效数字的计算方法是:从左边第一个不是 0 的数字起, 后面所有的数字都是有效数字.用科学记数法表示的数的有效数字只与前面的 a 有关,与 10 的多少 次方无关. 解答: 解:282 000 000=2.82×108≈2.8×108. 故选:B. 点评: 此题主要考查了科学记数法的表示方法,以及用科学记数法表示的数的有效数字的确定方法.

4.(3 分)(2013?百色)下列运算正确的是(

A.2a+3b=5ab

B.3x2y﹣2x2y=1

) C.(2a2)3=6a6

D.5x3÷x2=5x

考点: 整式的除法;合并同类项;幂的乘方与积的乘方.
分析: 根据整式的除法,幂的乘方与积的乘方,合并同类项分别进行计算,即可得出答案.
解答: 解:A、不是同类项,不能相加,故本选项错误; B、3x2y﹣2x2y=x2y,故本选项错误; C、(2a2)3=8a6,故本选项错误; D、5x3÷x2=5x,故本选项正确. 故选 D.
点评: 此题考查了整式的除法,幂的乘方与积的乘方,合并同类项,掌握运算法则是本题的关键.

5.(3 分)(2013?百色)一个几何体的三视图如图所示,则该几何体的侧面展开图的面积为( )

A.6cm2

B.4πcm2

C.6πcm2

D.9πcm2

考点: 由三视图判断几何体;几何体的表面积.
分析: 易得此几何体为圆柱,底面直径为 2cm,高为 3cm.圆柱侧面积=底面周长×高,代入相应数值求解 即可.
解答: 解:主视图和左视图为长方形可得此几何体为柱体,俯视图为圆可得此几何体为圆柱, 故侧面积=π×2×3=6πcm2. 故选:C.
点评: 主要考查了由三视图判断几何体及几何体的展开图的知识;本题的易错点是得到相应几何体的底面 直径和高.

6.(3 分)(2013?百色)在反比例函数 y= 中,当 x>0 时,y 随 x 的增大而增大,则二次函数 y=mx2+mx

的图象大致是图中的( )

A.

B.

C.

D.

考点: 二次函数图象与系数的关系;反比例函数的性质. 分析: 根据反比例函数图象的性质确定出 m<0,则二次函数 y=mx2+mx 的图象开口方向向下,且与 y 轴交
于负半轴,即可得出答案. 解答: 解:∵反比例函数 y= ,中,当 x>0 时,y 随 x 的增大而增大,
∴根据反比例函数的性质可得 m<0; 该反比例函数图象经过第二、四象限, ∴二次函数 y=mx2+mx 的图象开口方向向下,且与 y 轴交于负半轴. ∴只有 A 选项符合. 故选 A. 点评: 本题考查了二次函数图象、反比例函数图象.利用反比例函数的性质,推知 m<0 是解题的关键, 体现了数形结合的思想.
7.(3 分)(2013?百色)今年我市某县 6 月 1 日到 10 日的每一天最高气温变化如折线图所示,则这 10 个最 高气温的中位数和众数分别是( )

A.33℃,33℃

B.33℃,32℃

C.34℃,33℃

D.35℃,33℃

考点: 众数;折线统计图;中位数. 分析: 将数据从小到大排列,由中位数及众数的定义,可得出答案.
解答: 解:31,32,32,33,33,33,34,34,35,35, 这组数据的中位数是:33, 众数是:33. 故选 A.
点评: 本题考查了众数、中位数的知识,解答本题的关键是由折线统计图得到最高气温的 10 个数据.

8.(3 分)(2013?百色)如图,在⊙O 中,直径 CD 垂直于弦 AB,若∠C=25°,则∠ABO 的度数是( )

A.25°

B.30°

C.40°

D.50°

考点: 圆周角定理;垂径定理. 分析: 由“等弧所对的圆周角是所对的圆心角的一半”推知∠DOB=2∠C=50°;则在直角△ BOE 中,利用“直
角三角形的两个锐角互余”的性质解题. 解答: 解:如图,∵在⊙O 中,直径 CD 垂直于弦 AB,
∴=, ∴∠DOB=2∠C=50°. ∴∠ABO=90°﹣∠DOB=40°. 故选 C.

点评: 本题考查了圆周角定理、垂径定理.圆周角定理:在同圆或等圆中,同弧或等弧所对的圆周角相等, 都等于这条弧所对的圆心角的一半.
9.(3 分)(2013?百色)如图,在平行四边形 ABCD 中,AB>CD,按以下步骤作图:以 A 为圆心,小于 AD 的长为半径画弧,分别交 AB、CD 于 E、F;再分别以 E、F 为圆心,大于 EF 的长半径画弧,两弧交 于点 G;作射线 AG 交 CD 于点 H.则下列结论: ①AG 平分∠DAB,②CH= DH,③△ ADH 是等腰三角形,④S△ ADH= S 四边形 ABCH. 其中正确的有( )

A.①②③

B.①③④

C.②④

D.①③

考点: 平行四边形的性质;作图—复杂作图. 分析: 根据作图过程可得得 AG 平分∠DAB;再根据角平分线的性质和平行四边形的性质可证明

∠DAH=∠DHA,进而得到 AD=DH,从而得到△ ADH 是等腰三角形. 解答: 解:根据作图的方法可得 AG 平分∠DAB,
故①正确; ∵AG 平分∠DAB, ∴∠DAH=∠BAH, ∵CD∥AB, ∴∠DHA=∠BAH, ∴∠DAH=∠DHA, ∴AD=DH, ∴△ADH 是等腰三角形, 故③正确; 故选:D. 点评: 此题主要考查了平行四边形的性质,以及角平分线的做法,关键是掌握平行四边形对边平行.

10.(3 分)(2013?百色)不等式组

A.

B.

的解集在数轴上表示正确的是( )

C.

D.

考点: 在数轴上表示不等式的解集;解一元一次不等式组. 分析: 分别计算出两个不等式的解集,再求其公共部分. 解答:
解:
由①得,x≤1; 由②得,x>﹣2; ∴不等式组的解集为﹣2<x≤1. 在数轴上表示为:
, 故选 B. 点评: 本题考查了解一元一次不等式组,不等式的解集在数轴上表示出来的方法:“>”空心圆点向右画折 线,“≥”实心圆点向右画折线,“<”空心圆点向左画折线,“≤”实心圆点向左画折线.
11.(3 分)(2013?百色)如图,在矩形纸片 ABCD 中,AB=4,AD=3,折叠纸片使 DA 与对角线 DB 重合, 点 A 落在点 A′处,折痕为 DE,则 A′E 的长是( )

A.1

B.

C.

D.2

考点: 翻折变换(折叠问题).

分析: 由在矩形纸片 ABCD 中,AB=4,AD=3,可求得 BD 的长,由折叠的性质,即可求得 A′B 的长,然 后设 A′E=x,由勾股定理即可得:x2+4=(4﹣x)2,解此方程即可求得答案.

解答: 解:∵四边形 ABCD 是矩形,

∴∠A=90°,

∴BD=

=5,

由折叠的性质,可得:A′D=AD=3,A′E=AE,∠DA′E=90°, ∴A′B=BD﹣A′D=5﹣3=2,

设 A′E=x, 则 AE=x,BG=AB﹣AE=4﹣x, 在 Rt△ A′BE 中,A′E2+A′B2=BE2, ∴x2+4=(4﹣x)2, 解得:x= .
∴A′E= .
故选 C. 点评: 此题考查了折叠的性质、矩形的性质以及勾股定理.此题难度适中,注意掌握折叠前后图形的对应
关系,注意掌握数形结合思想与方程思想的应用.
12.(3 分)(2013?百色)如图,在平面直角坐标系中,直线 l:y= x+1 交 x 轴于点 A,交 y 轴于点 B,
点 A1、A2、A3,…在 x 轴上,点 B1、B2、B3,…在直线 l 上.若△ OB1A1,△ A1B2A2,△ A2B3A3,…均为 等边三角形,则△ A5B6A6 的周长是( )

A.24

B.48

C.96

D.192

考点: 一次函数综合题. 专题: 规律型. 分析: 首先求得点 A 与 B 的坐标,即可求得∠OAB 的度数,又由△ OA1B1、△ A1B2A2、△ A2B3A3…均为
等边三角形,易求得 OB1=OC= ,A1B1=A1C,A2B2=A2C,则可得规律:OAn=(2n﹣1) .根 据 A5A6=OA6﹣OA5 求得△ A5B6A6 的边长,进而求得周长. 解答: 解:∴点 A(﹣ ,0),点 B(0,1), ∴OC= ,OD=1,
∴tan∠OCD= = ,
∴∠OCD=30°, ∵△OA1B1、△ A1B2A2、△ A2B3A3…均为等边三角形, ∴∠A1OB1=∠A2A1B2=∠A3A2B3=60°, ∴∠OB1C=∠A1B2C=∠A2B3C=∠OCD=30°, ∴OB1=OC= ,A1B2=A1C,A2B3=A2C, ∴OA1=OB1= ,OA2=OA1+A1A2=OA1+A1B1= +2 =3 , 同理:OA3=7 ,OA4=15 ,OA5=31 ,OA6=63 , 则 A5A6=OA6﹣OA5=32 . 则△ A5B6A6 的周长是 96 , 故选 C. 点评: 此题考查了一次函数的性质、等边三角形的性质、等腰三角形的判定与性质以及三角函数的知识.此 题难度较大,注意掌握数形结合思想的应用.

二、填空题(本大题共 6 小题,每小题 3 分,共 18 分.)请把答案填在答题卷指定的位置上. 13.(3 分)(2013?百色)4 的算术平方根是 2 .

考点: 算术平方根.
分析: 如果一个非负数 x 的平方等于 a,那么 x 是 a 的算术平方根,由此即可求出结果. 解答: 解:∵22=4,

∴4 算术平方根为 2. 故答案为:2. 点评: 此题主要考查了算术平方根的概念,算术平方根易与平方根的概念混淆而导致错误.
14.(3 分)(2013?百色)若函数 y= 有意义,则自变量 x 的取值范围是 x≠2 .
考点: 函数自变量的取值范围. 分析: 根据分式有意义的条件是:分母不等于 0 即可求解. 解答: 解:根据题意得:x﹣2≠0,解得:x≠2.
故答案是:x≠2. 点评: 考查了函数自变量的取值范围,函数自变量的范围一般从三个方面考虑:
(1)当函数表达式是整式时,自变量可取全体实数; (2)当函数表达式是分式时,考虑分式的分母不能为 0; (3)当函数表达式是二次根式时,被开方数非负.
15.(3 分)(2013?百色)如图,菱形 ABCD 的周长为 12cm,BC 的垂直平分线 EF 经过点 A,则对角线 BD 的长是 3 cm.

考点: 菱形的性质;线段垂直平分线的性质;等边三角形的判定与性质. 分析: 首先连接 AC,由 BC 的垂直平分线 EF 经过点 A,根据线段垂直平分线的性质,可得 AC 的长,由
菱形的性质,可求得 AC=AB=3,然后由勾股定理,求得 OB 的长,继而求得答案. 解答: 解:连接 AC,
∵菱形 ABCD 的周长为 12cm, ∴AB=6,AC⊥BD, ∵BC 的垂直平分线 EF 经过点 A, ∴AC=AB=3,
∴OA= AC= ,

∴OB=

=,

∴BD=2OB=3 . 故答案为:3 .

点评: 此题考查了菱形的性质、勾股定理以及线段垂直平分线的性质.此题难度适中,注意掌握辅助线的 作法,注意掌握数形结合思想的应用.
16.(3 分)(2013?百色)某校对去年毕业的 350 名学生的毕业去向进行跟踪调查,并绘制出扇形统计图(如 图所示),则该校去年毕业生在家待业人数有 28 人.

考点: 扇形统计图. 分析: 首先求得在家待业的百分比,然后乘以毕业的总人数即可. 解答: 解:在家待业的毕业生所占百分比为:1﹣24%﹣68%=8%,
故该校去年毕业生在家待业人数有 350×8%=28 人, 故答案为:28. 点评: 此题考查了扇形统计图的知识,解题的关键是了解扇形统计图的作用.
17.(3 分)(2013?百色)如图,在方格纸中,每个小方格都是边长为 1cm 的正方形,△ ABC 的三个顶点都 在格点上,将△ ABC 绕点 O 逆时针旋转 90°后得到△ A′B′C′(其中 A、B、C 的对应点分别为 A′,B′,C′,
则点 B 在旋转过程中所经过的路线的长是 π cm.(结果保留 π)

考点: 旋转的性质;弧长的计算.

分析: 让三角形的顶点 B、C 都绕点 A 逆时针旋转 90°后得到对应点,顺次连接即可.旋转过程中点 B 所

经过的路线是一段弧,根据弧长公式计算即可.

解答: 解:如图所示:点 B 在旋转过程中所经过的路线的长是:

= π(cm).

故答案为: π.

点评: 本题主要考查了旋转变换图形的方法及利用直角坐标系解决问题的能力.

18.(3 分)(2013?百色)如图,在边长为 10cm 的正方形 ABCD 中,P 为 AB 边上任意一点(P 不与 A、B

两点重合),连结 DP,过点 P 作 PE⊥DP,垂足为 P,交 BC 于点 E,则 BE 的最大长度为

cm.

考点: 相似三角形的判定与性质;二次函数的最值;正方形的性质. 分析: 设 AP=x,BE=y.通过△ ABP∽△PCQ 的对应边成比例得到 = ,所以

用“配方法”求该函数的最大值. 解答: 解:设 AP=x,BE=y.
如图,∵四边形 ABCD 是正方形, ∴∠A=∠B=90° ∵PE⊥DP, ∴∠2+∠3=90°,∠1+∠2=90° ∴∠1=∠3, ∴△ADP∽△BPE,

∴ = ,即

=,

∴y=﹣ x2+x=﹣ (x﹣5)2+ (0<y<10);

∴当 x=5 时,y 有最大值 .

故答案是: .

= ,即 y=﹣ x2+x.利

点评: 本题主要考查正方形的性质和二次函数的应用,关键在于理解题意运用三角形的相似性质求出 y 与 x 之间的函数关系,求最大值时,运用到“配方法”.
三、解答题(本大题共 8 小题,共 66 分)请在答题卷指定的位置上写出解答过程. 19.(6 分)(2013?百色)计算:(3﹣π)0+2sin60°+( )﹣2﹣|﹣ |

考点: 实数的运算;零指数幂;负整数指数幂;特殊角的三角函数值. 专题: 计算题. 分析: 本题涉及零指数幂、负整数指数幂、特殊角的三角函数值、绝对值等考点.针对每个考点分别进行
计算,然后根据实数的运算法则求得计算结果. 解答: 解:原式=1+2× +4﹣
=1+ +4﹣ =5. 点评: 本题考查实数的综合运算能力,是各地中考题中常见的计算题型.解决此类题目的关键是掌握零指 数幂、负指数幂、特殊角的三角函数值、绝对值等考点的运算.

20.(6 分)(2013?百色)先化简,再求值:

+ ,其中 a= ﹣1,b= .

考点: 分式的化简求值.

分析: 首先把分式的分子分母分解因式,再约分,进行加法计算,然后再代入 a、b 的值即可得到答案.

解答: 解:原式=

+

=+

=.

当 a= ﹣1,b= 时,原式=

=﹣3.

点评: 此题主要考查了分式的化简求值,关键是先把分式化简后,再把分式中未知数对应的值代入求出分 式的值.

21.(6 分)(2013?百色)如图,在等腰梯形 ABCD 中,DC∥AB,E 是 DC 延长线上的点,连接 AE,交 BC 于点 F. (1)求证:△ ABF∽△ECF; (2)如果 AD=5cm,AB=8cm,CF=2cm,求 CE 的长.

考点: 相似三角形的判定与性质;等腰梯形的性质. 分析: (1)由“两直线平行,内错角相等”推知∠B=∠ECF,∠BAF=∠E.则由“两角法”证得结论;
(2)利用(1)中的相似三角形的对应边成比例得到 = ,即 = .所以 CE= (cm).
解答: (1)证明:∵DC∥AB, ∴∠B=∠ECF,∠BAF=∠E, ∴△ABF∽△ECF.(2)解:∵在等腰梯形 ABCD 中,AD=BC,AD=5cm,AB=8cm,CF=2cm, ∴BF=3cm. ∵由(1)知,△ ABF∽△ECF, ∴ = ,即 = .
∴CE= (cm).
点评: 本题考查了相似三角形的判定与性质,等腰梯形的性质.等腰梯形的两腰相等.
22.(8 分)(2013?百色)“中秋节”是我国的传统佳节,历来都有赏月,吃月饼的习俗.小明家吃过晚饭后, 小明的母亲在桌子上放了四个包装纸盒完全一样的月饼,它们分别是 2 个豆沙,1 个莲蓉和 1 个叉烧. (1)小明随机拿一个月饼,是莲蓉的概率是多少? (2)小明随机拿 2 个月饼,请用树形图或列表的方法表示所有可能的结果,并计算出没有拿到豆沙月饼的 概率是多少?
考点: 列表法与树状图法;概率公式. 分析: (1)由分别是 2 个豆沙,1 个莲蓉和 1 个叉烧,直接利用概率公式求解即可求得答案;
(2)首先根据题意画出树状图,然后由树状图求得所有等可能的结果与没有拿到豆沙月饼的情况, 再利用概率公式即可求得答案. 解答: 解:(1)∵共有 4 个月饼,莲蓉月饼有 1 个, ∴小明随机拿一个月饼,是莲蓉的概率是 .(2)画树形图如下:

∵共有 12 种等可能结果,没有拿到豆沙月饼的情况有 2 种, ∴没有拿到豆沙月饼的概率是: = .
点评: 本题考查的是用列表法或画树状图法求概率.注意列表法或画树状图法可以不重复不遗漏的列出所 有可能的结果,列表法适合于两步完成的事件,树状图法适合两步或两步以上完成的事件.注意用 到的知识点为:概率=所求情况数与总情况数之比.
23.(8 分)(2013?百色)如图,在平面直角坐标系 xOy 中,直线 y=k1x+b 交 x 轴于点 A(﹣3,0),交 y
轴于点 B(0,2),并与 y= 的图象在第一象限交于点 C,CD⊥x 轴,垂足为 D,OB 是△ ACD 的中位线.
(1)求一次函数与反比例函数的解析式; (2)若点 C′是点 C 关于 y 轴的对称点,请求出△ ABC′的面积.

考点: 反比例函数与一次函数的交点问题.
分析: (1)根据直线 y=k1x+b 交 x 轴于点 A(﹣3,0),交 y 轴于点 B(0,2),代入解析式,求出 k1 和 b 的值,从而得出一次函数的解析式;再根据 OB 是△ ACD 的中位线,得出点 C 的坐标,最后代入双

曲线 y= ,即可求出反比例函数的解析式.

(2)根据点 C′是点 C(3,4)关于 y 轴的对称点,求出 C′的坐标,从而得出 AC′⊥AO,最后根据
S△ ABC=S 梯形 AOBC′﹣S△ ABO,代入计算即可. 解答: 解:(1)∵直线 y=k1x+b 交 x 轴于点 A(﹣3,0),交 y 轴于点 B(0,2),





解得



∴一次函数的解析式为 y= x+2.
∵OB 是△ ACD 的中位线,OA=3,OB=2,∴OD=3,DC=4. ∴C(3,4).
∵点 C 在双曲线 y= 上,
∴k2=3×4=12. ∴反比例函数的解析式为 y= .(2)∵点 C′是点 C(3,4)关于 y 轴的对称点,
∴C′(﹣3,4). ∴AC′⊥AO.

∴S△ ABC=S 梯形 AOBC′﹣S△ ABO= (2+4)×3﹣ 3×2=6.
点评: 此题考查了一次函数和反比例函数,用到的知识点是运用待定系数法求函数的解析式,三角形的中 位线,关键是列出求三角形面积的等式.

24.(10 分)(2013?百色)为响应区“美丽广西 清洁乡村”的号召,某校开展“美丽广西 清洁校园”的活动, 该校经过精心设计,计算出需要绿化的面积为 498m2,绿化 150m2 后,为了更快的完成该项绿化工作,将
每天的工作量提高为原来的 1.2 倍.结果一共用 20 天完成了该项绿化工作. (1)该项绿化工作原计划每天完成多少 m2?, (2)在绿化工作中有一块面积为 170m2 的矩形场地,矩形的长比宽的 2 倍少 3m,请问这块矩形场地的长
和宽各是多少米?

考点: 一元二次方程的应用;分式方程的应用.
分析: (1)根据一共用 20 天列出分式方程求解即可; (2)根据矩形的面积为 170m2 列出一元二次方程求解即可.
解答: 解:(1)设该项绿化工作原计划每天完成 xm2,则提高工作量后每天完成 1.2xm2,

根据题意,得

,解得 x=22.

经检验,x=22 是原方程的根. 答:该项绿化工作原计划每天完成 22m2.(2)设矩形宽为 y m,则长为 2y﹣3m, 根据题意,得 y(2y﹣3)=170,解得 y=10 或 y=﹣8.5 (不合题意,舍去). 2y﹣3=17. 答:这块矩形场地的长为 17m,宽为 10m. 点评: 本题考查了分式方程及一元二次方程的应用,解题的关键是从题目中找到相关的等量关系并列出方
程求解.

25.(10 分)(2013?百色)如图,在△ ABC 中,以 AB 为直径的⊙O 交 AC 于点 D,直径 AB 左侧的半圆上 有一点动点 E(不与点 A、B 重合),连结 EB、ED. (1)如果∠CBD=∠E,求证:BC 是⊙O 的切线; (2)当点 E 运动到什么位置时,△ EDB≌△ABD,并给予证明;
(3)若 tanE= ,BC= ,求阴影部分的面积.(计算结果精确到 0.1)
(参考数值:π≈3.14, ≈1.41, ≈1.73)

考点: 切线的判定;全等三角形的判定;扇形面积的计算.
分析: (1)欲证明 BC 是⊙O 的切线,只需证得 BC⊥AB; (2)利用圆周角定理,全等三角形的判定定理 AAS 证得当点 E 运动到 DE 经过点 O 位置时, △ EDB≌△ABD;
(3)如图,连接 OD,过点 O 作 OF⊥AD 于点 F.S 阴影=S 扇形 OAD﹣S△ AOD.由圆周角定理和正切三 角函数定义易求 AB 的长度、圆心角∠AOD=120°.所以根据扇形面积公式和三角形的面积公式进行 计算即可.
解答: 解:(1)证明:∵AB 为⊙O 的直径,∴∠ADB=90°,即∠ABD+∠BAD=90°. 又∵∠CBD=∠E,∠BAD=∠E,∴∠ABD+∠CBD=90°,即∠ADC=90°. ∴BC⊥AB.∴BC 是⊙O 的切线.(2)当点 E 运动到 DE 经过点 O 位置时,△ EDB≌△ABD.证明 如下:

当点 E 运动到 DE 经过点 O 位置时,∠EBD=∠ADB=90°, 在△ EDB 与△ ABD 中,



∴△EDB≌△ABD(AAS).(3)如图,连接 OD,过点 O 作 OF⊥AD 于点 F, ∵∠BAD=∠E,tanE= ,

∴tan∠BAD= .
又∵∠ADB=90°, ∴∠BAD=30°. ∵∠ABC=90°,BC= ,

∴AB=

=4.

∴AO=2,OF=1,AF=AOcos∠BAD= . ∴AD=2 . ∵AO=DO, ∴∠AOD=120°.

∴S 阴影=S 扇形 OAD﹣S△ AOD=

﹣ ×3=2

×1= π﹣

≈2.5.

点评: 本题考查了切线的判定、全等三角形的判定以及扇形面积的计算.求(3)题中阴影部分的面积时, 采用了“分割法”.
26.(12 分)(2013?百色)如图,在平面直角坐标系 xOy 中,将抛物线 C1:y=x2+3 先向右平移 1 个单位, 再向下平移 7 个单位得到抛物线 C2.C2 的图象与 x 轴交于 A、B 两点(点 A 在点 B 的左侧). (1)求抛物线 C2 的解析式; (2)若抛物线 C2 的对称轴与 x 轴交于点 C,与抛物线 C2 交于点 D,与抛物线 C1 交于点 E,连结 AD、DB、 BE、EA,请证明四边形 ADBE 是菱形,并计算它的面积; (3)若点 F 为对称轴 DE 上任意一点,在抛物线 C2 上是否存在这样的点 G,使以 O、B、F、G 四点为顶 点的四边形是平行四边形?如果存在,请求出点 G 的坐标;如果不存在,请说明理由.

考点: 二次函数综合题. 分析: (1)根据二次函数平移的规律:“左加右减,上加下减”,得出平移后解析式即可;
(2)首先求出 A,B 两点的坐标,再利用顶点坐标得出 AC=CB,CE=DE,进而得出四边形 ADBE 是平行四边形以及四边形 ADBE 是菱形,再利用三角形面积公式求出即可; (3)利用分 AB 为平行四边形的边和对角线两种情况:①当 AB 为平行四边形的一边时,②当 AB 为平行四边形的一对角线时分别得出即可. 解答: 解:(1)∵将抛物线 C1:y=x2+3 先向右平移 1 个单位,再向下平移 7 个单位得到抛物线 C2, ∴抛物线 C1 的顶点(0,3)向右平移 1 个单位,再向下平移 7 个单位得到(1,﹣4). ∴抛物线 C2 的顶点坐标为(1,﹣4). ∴抛物线 C2 的解析式为 y=(x﹣1)2﹣4, 即 y=x2﹣2x﹣3;(2)证明:由 x2﹣2x﹣3=0, 解得:x1=﹣1,x2=3, ∵点 A 在点 B 的左侧, ∴A(﹣1,0),B(3,0),AB=4. ∵抛物线 C2 的对称轴为 x=1,顶点坐标 D 为(1,﹣4), ∴CD=4.AC=CB=2. 将 x=1 代入 y=x2+3 得 y=4, ∴E(1,4),CE=DE. ∴四边形 ADBE 是平行四边形. ∵ED⊥AB, ∴四边形 ADBE 是菱形.
S 菱形 ADBE=2× ×AB×CE=2× ×4×4=16.(3)存在.分 AB 为平行四边形的边和对角线两种情况:
①当 AB 为平行四边形的一边时,如图 1, 设 F(1,y), ∵OB=3,∴G1(﹣2,y)或 G2(4,y). ∵点 G 在 y=x2﹣2x﹣3 上, ∴将 x=﹣2 代入,得 y=5;将 x=4 代入,得 y=5. ∴G1(﹣2,5),G2(4,5). ②当 AB 为平行四边形的一对角线时,如图 2, 设 F(1,y),OB 的中点 M,过点 G 作 GH⊥OB 于点 H,
∵OB=3,OC=1,∴OM= ,CM= .
∵△CFM≌△HGM(AAS),∴HM=CM= .∴OH=2.
∴G3(2,﹣y). ∵点 G 在 y=x2﹣2x﹣3 上, ∴将(2,﹣y)代入,得﹣y=﹣3,即 y=3. ∴G3(2,﹣3).

综上所述,在抛物线 C2 上是否存在这样的点 G,使以 O、B、F、G 四点为顶点的四边形是平行四边 形, 点 G 的坐标为 G1(﹣2,5),G2(4,5),G3(2,﹣3).
点评: 此题主要考查了菱形的判定以及二次函数的平移和平行四边形的判定和性质等知识,利用分类讨论 思想得出是解题关键.




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