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最优化及鸡兔同笼问题

一、最优化问题

在日常生活中,我们经常会遇到这样的问题:完成某件事情,怎样规划安排,才能用

最短的时间、最小的投入、最少的人力、最快的速度,取得最好的效果?我们称之为统筹或

优化问题。

在碰到最优化问题时,通常要注意场地的选择、物资的调运、最佳路线的安排、合理

地安排时间等,力求在许多方案中,寻求一个最合理、最节约、最省事的方案。

1、某市出租车的收费标准如下:(不足 1 千米按 1 千米计)

里程

收费

3 千米及 3 千米以下

8.00 元

3 千米以上,单程,每增加 1 千米

1.60 元

3 千米以上,往返,每增加 1 千米

1.20 元

○1 李丽乘出租车从家到外婆家,共付费 17.6 元,李丽家到外婆家最多相距多少千米?

○2 王老师从学校去相距 6 千米的人事局取一份资料并立即回到学校,他怎样坐车比较合
算?需付出租车费多少元?

2、一个旅行者准备穿过一个沙漠,行程需要 6 天,但是一个人一次只能携带 4 天的食物, 他只好雇向导,帮他带食物,请问他最少需要雇几名向导?如何走法。

3、某种机床,重庆需要 8 台,武汉需要 6 台,正好北京有 10 台,上海有 4 台,每台机床的 运费如下表,请问应该怎样调运,才能使总运费最省?(单位:元)

武汉

重庆

北京

400

800

上海

300

500

4、天气渐渐热了,购买饮料的人也越来越多,因此,甲乙丙三个商场都进了一批相同的饮 料,每大瓶 8 元,每小瓶 2 元,为了抢占市场,它们分别推出各自的优惠措施,甲商场:买

大瓶,送小瓶;乙商场:一律打九折;丙商场:满 25 元打八折。下表是 4 个旅客的购买情 况,请你为这些顾客去哪家商场购买花钱少提出建议,并填在表中。

顾客

1

2

3

4

购买情况

10 小

5大

4 大、4 小

1 大、2 小

选择商场

5、某种饮料,大瓶装 1200 毫升,定价 10 元;小瓶装 200 毫升,定价 2 元。为促销,甲商 店买一大瓶送一小瓶,乙商店一律九折出售。如果要喝这种饮料 2000 毫升,怎样买花钱最

少?(通过计算说明)

6、商场为了促销,推出两种促销方式:方式一:所有商品打 7.5 折销售;方式二:一次性 购物满 200 元送 60 元现金。杨老师要购买标价为 628 元和 788 元的商品各一件,现有四种 购买方案:方案一:628 元和 788 元的商品均按促销方式一购买;方案二:628 元的商品按 促销方式一购买,788 元的商品按促销方式二购买;方案三:628 元的商品按促销方式二购 买,788 元的商品按促销方式一购买;方案四;628 元和 788 元的商品均按促销方式二购买。 (1)通过计算给杨老师提出最合理购买方案。 (2)通过计算下表中标价在 600 元到 800 元之间商品的付款金额,你总结出商品的购买规 律是什么?

628

638

648

768

778

788

方式一

方式二

7、公园只受两种门票:个人票每张 5 元,10 人一丈的团体票每张 30 元,购买 10 张以上团 体票者可优惠 10%。 (1)甲单位 46 人逛公园,按以上规定买票,最少应付多少钱? (2)乙单位 209 人逛公园,按以上规定买票,最少应付多少钱?

8、团体旅游门票的价格如下:

购票人数

50 人以下(含 50 人) 51~100(含 100) 100 人以上

每人票价

10 元

8元

6元

今有甲乙两个旅游团,分别购票,两团总计付门票 920 元;如果合在一起购买,只需付门票

636 元,两个旅游团各有多少人?

9、海关商店进了一批货,出售时要在进价的基础上加上一定利润,旅客购买数量 x(千克) 与售价 c(元)之间的关系如表(1);又海关对旅客携带物品重量 m(千克)与收费(元) 之间的关系如表(2): (1) 若小明想买 4.5 千克这种货物,你能帮他算一算需要多少元钱? (2) 若小明想买 150 千克这种商品并带出境,那么他共要花费多少钱?
购买数量 x(千克) 售价 c(元)

1

4+0.2

2

8+0.4

3

12+0.6

4

16+0.8

5

20+1

携带物品重量 m(千克) 收费(元)

0<m≤20

不收费

20<m≤100

共 100 元

m>100

超过 100 部分 2 元/千克

二、数

10、将 14 个互不相同的自然数,从小到大依次排成一列,已知它们的总和是 170,如果去

掉最大的数及最小的数,那么剩下的数的总和是 150,在原来的次序中,第二个数是多少?

11、每一次都可将黑板上所写的数加倍或者擦去它的末尾数。假定一开始所写的数为 458,

那么,可怎样经过几次所述的变化来得到 14?

12、将三个连续自然数和记作 A,将紧接它们之后的三个连续自然数的和记作 B。试问,乘 积 A×B 能否等于 111111111(共 9 个 1)?

13、有 5 个砝码,它们的质量分别是 1000 克、1001 克、1002 克、1004 克和 1007 克,但砝 码上并未注明质量,而外观又完全相同。现在有一台带指针的台秤,它可以称明物体质量的 克数,怎样才能只称 3 次,就确定出重为 1000 克的砝码?

14、国际象棋比赛的奖金总数为 10000 元,发给前五名。每一名次的奖金都不一样,名次在 前的钱数是比名次在后的钱数多,每份奖金钱数都是 100 元的整数倍。现在的规定,第一名 的钱数是第二、三名两人之和,第二名的钱数是第四、五名两人之和,那么第三名最多能得 多少元?

15、二十多位小朋友围成一圈做游戏。他们依顺时针顺序从小赵报 1 开始连续报数,但 7 的倍数或带有 7 的数都要跳过去不报;报错的人表演一个节目。小明是第一个报错的人,当 他右边的同学报 90 时他错报了 91.如果他第一次报数报的是 19,那么这群小朋友共有多少 人?
三、鸡兔同笼问题 鸡兔同笼是中国古代著名趣题之一。大约在 1500 年前,《孙子算经》中就记载了这
个有趣的问题。书中是这样叙述的:“今有雉兔同笼,上有三十五头,下有九十四足, 问雉兔各几何?”这四句话的意思是:有若干只鸡兔同在一个笼子里,从上面数,有 35 个头;从下面数,有 94 只脚。问笼中各有几只鸡和兔?
算这个有个最简单的算法。 (总脚数-总头数×2)÷2=兔子数 总头数-兔子数=鸡数 解释:让兔子和鸡都抬起两只脚,这样笼子里的脚就减少了头数×2 只,由于鸡只

有 2 只脚,所以笼子里只剩下兔子的,再除以 2 就是兔子数。别说兔子和鸡不听话, 现实中也没人鸡兔同笼。 例 2 红铅笔每支 0.19 元,蓝铅笔每支 0.11 元,两种铅笔共买了 16 支,花了 2.80 元。 问红,蓝铅笔各买几支?
解:以"分"作为钱的单位.我们设想,一种"鸡"有 11 只脚,一种"兔子"有 19 只脚, 它们共有 16 个头,280 只脚。
现在已经把买铅笔问题,转化成"鸡兔同笼"问题了.利用上面算兔数公式,就有 蓝笔数=(19×16-280)÷(19-11)
=24÷8 =3(支). 红笔数=16-3=13(支). 答:买了 13 支红铅笔和 3 支蓝铅笔。 对于这类问题的计算,常常可以利用已知脚数的特殊性.例 2 中的"脚数"19 与 11 之和是 30.我们也可以设想 16 只中,8 只是"兔子",8 只是"鸡",根据这一设想,脚数是 8×(11+19)=240(支)。 比 280 少 40. 40÷(19-11)=5(支)。 就知道设想中的 8 只"鸡"应少 5 只,也就是"鸡"(蓝铅笔)数是 3. 30×8 比 19×16 或 11×16 要容易计算些。利用已知数的特殊性,靠心算来完成计算. 实际上,可以任意设想一个方便的兔数或鸡数。例如,设想 16 只中,"兔数"为 10," 鸡数"为 6,就有脚数
19×10+11×6=256. 比 280 少 24.
24÷(19-11)=3, 就知道设想 6 只"鸡",要少 3 只。 要使设想的数,能给计算带来方便,常常取决于你的心算本领. 例 今年是 1998 年,父母年龄(整数)和是 78 岁,兄弟的年龄和是 17 岁。四年 后(2002 年)父的年龄是弟的年龄的 4 倍,母的年龄是兄的年龄的 3 倍.那么当父的年龄 是兄的年龄的 3 倍时,是公元哪一年? 解:4 年后,两人年龄和都要加 8.此时兄弟年龄之和是 17+8=25,父母年龄之和是 78+8=86.我们可以把兄的年龄看作"鸡"头数,弟的年龄看作"兔"头数。25 是"总头数".86 是"总脚数".根据公式,兄的年龄是 (25×4-86)÷(4-3)=14(岁). 1998 年,兄年龄是 14-4=10(岁). 父年龄是 (25-14)×4-4=40(岁). 因此,当父的年龄是兄的年龄的 3 倍时,兄的年龄是 (40-10)÷(3-1)=15(岁). 这是 2003 年。 答:公元 2003 年时,父年龄是兄年龄的 3 倍. 16、一个箱子中装有若干只蜘蛛和蟋蟀,每只蜘蛛 8 条腿,每只蟋蟀 6 条腿,已知箱内的蜘 蛛和蟋蟀共有 52 条腿,问其中蜘蛛和蟋蟀各有多少只?

四、其他问题 17、在 800 米的环岛上,每隔 50 米插一面彩旗,后来又增加了一些彩旗,就把彩旗的间隔 缩短了,起点的彩旗不动,重新插完后发现,一共有 4 根彩旗没动,问现在的彩旗间隔是多 少米?
18、某市将位于居民区较集中的一处破旧厂房进行规划,组成了一个供居民休闲散步的公园, 在公园的中心建了一个正方形音乐喷泉,如图,现计划用 16 盆盆景花放在喷泉四周将喷泉 隔开,要求每一条边上所放盆花同样多,共有几种放法?每边放几盆花?
19、今年父亲的岁数是儿子岁数的 6 倍,15 年后,父亲的岁数是儿子的 3 倍,儿子今年多 少岁?
20、甲、乙、丙三人的平均年龄是 42 岁,若将甲的岁数增加 7 岁,乙的岁数扩大 2 倍,丙 的岁数缩小 2 倍,则三人岁数相等。丙的年龄是多少岁?
21、有 4 个孩子,恰好一个比一个大一岁,他们的年龄相乘等于 3024.算一算,这 4 个孩子 的年龄分别是多少?
22、养鱼专业户张强,去年承包了一个叫“金三角”的鱼池(如图),喜获丰收。为了进一 步增产,决定把鱼池扩大。但有这样的要求:扩大后的鱼池必须仍是三角形,保持“金三角” 鱼池的称号;扩大后的鱼池面积是原面积的 4 倍;原鱼池的三个角上载的 3 颗大杨树不能移 动。你能替张强设计一个施工草图吗?




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