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2019-2020年高考数学总复习7.2一元二次不等式及其解法演练提升同步测评文新人教B版

2019-2020 年高考数学总复习 7.2 一元二次不等式及其解法演练提升同步

测评文新人教 B 版

1.(xx·安徽安庆二模,1)若集合 P={x||x|<3,且 x∈Z},Q={x|x(x-3)≤0,且 x

∈N},则 P∩Q 等于( )

A.{0,1,2}

B.{1,2,3}

C.{1,2}

D.{0,1,2,3}

【解析】 由题意得 P={-2,-1,0,1,2},Q={0,1,2,3},∴P∩Q={0,1,2}.

【答案】 A

2.(xx·佛山模拟)已知函数 f(x)=?????x-+x2+,2, 为( )

x≤0, 则不等式 f(x)≥x2 的解集
x>0,

A.[-1,1]

B.[-2,2]

C.[-2,1]

D.[-1,2]

【解析】 方法一 当 x≤0 时,x+2≥x2,

∴-1≤x≤0;①

当 x>0 时,-x+2≥x2,∴0<x≤1.②

由①②得原不等式的解集为{x|-1≤x≤1}.

方法二 作出函数 y=f(x)和函数 y=x2 的图象,如图,由图知 f(x)≥x2 的解集为[-1,

1].

【答案】 A

3.(xx·山东省实验中学第一次诊断)不等式-x2+|x|+2<0 的解集是( )

A.{x|-2<x<2}

B.{x|x<-2 或 x>2}

C.{x|-1<x<1}

D.{x|x<-1 或 x>1}

【解析】 原不等式化为|x|2-|x|-2>0,

所以(|x|-2)(|x|+1)>0.

因为|x|+1>0,所以|x|-2>0,即|x|>2,

解得 x<-2 或 x>2.故选 B.

【答案】 B

4.(xx·吉林长春外国语学校第二次质检)若关于 x 的不等式 ax-b>0 的解集是(-∞,

-2),则关于

x

ax2+bx 的不等式 x-1 >0

的解集为(

)

A.(-2,0)∪(1,+∞)

B.(-∞,0)∪(1,2)

C.(-∞,-2)∪(0,1)

D.(-∞,1)∪(2,+∞)

【解析】 关于 x 的不等式 ax-b>0 的解集是(-∞,-2),∴a<0,ba=-2,∴b=-

2a,∴axx2-+1bx=axx2--21ax.∵a<0,

x2-2x ∴ x-1 <0,解得

x<0



1<x<2.故选

B.

【答案】 B

5.(xx·北京东城示范校上学期综合)已知 f(x)=?????x-2-x24-x+ 2x3+,3x,≤x0>,0,不等式 f(x+ a)>f(2a-x)在[a,a+1]上恒成立,则实数 a 的取值范围是( )

A.(-∞,-2)

B.(-∞,0)

C.(0,2)

D.(-2,0)

【解析】 因为 f(x)为 R 上的减函数,故 f(x+a)>f(2a-x)?x+a<2a-x,从而 2x

<a,所以 2(a+1)<a,解得 a<-2.

【答案】 A 6.(xx·山东潍坊期末)对任意实数 x,若不等式 4x-m·2x+1>0 恒成立,则实数 m 的

取值范围是( )

A.(-∞,2)

B.(-2,2)

C.(-∞,2]

D.[-2,2]

【解析】 令 t=2x,则 t>0.不等式可变形为 t2-mt+1>0,即不等式 t2-mt+1>0

对 t>0 恒成立,当m2≤0,即 m≤0 时,显然成立;当m2>0,即 m>0 时,Δ =m2-4<0,解

得 0<m<2.综上,实数 m 的取值范围是(-∞,2).故选 A.

【答案】 A

7.(xx·浙江金华磐安二中期中)若对任意正实数 a,不等式 x2<1+a 恒成立,则实数

x 的最小值为________.

【解析】 ∵a 是正实数,∴1+a>1,∴不等式 x2<1+a 恒成立等价于 x2≤1,解得-1

≤x≤1,∴实数 x 的最小值为-1.

【答案】 -1

8.若不等式 ax2+bx+2>0 的解集为???x???-12<x<13???,则不等式 2x2+bx+a<0 的解集
是________.

【解析】 由题意,知-12和13是一元二次方程 ax2+bx+2=0 的两根且 a<0,
??-12+31=-ba, 所以???-12×31=a2,
解得?????ab= =- -122., 则不等式 2x2+bx+a<0,即 2x2-2x-12<0,所以 x2-x-6<0,解得-2<x<3. 【答案】 {x|-2<x<3} 9.(xx·甘肃白银会宁一中第三次月考)若不等式(a-2)x2+2(a-2)x-4<0 对一切 x ∈R 恒成立,则实数 a 的取值范围是________. 【解析】 当 a-2=0,即 a=2 时不等式为-4<0, 对一切 x∈R 恒成立. 当 a≠2 时,则?????aΔ-=2< 4(0, a-2)2+16(a-2)<0, 即?????a-<22<,a<2,解得-2<a<2. ∴实数 a 的取值范围是(-2,2] 【答案】 (-2,2] 10.设二次函数 f(x)=ax2+bx+c,函数 F(x)=f(x)-x 的两个零点为 m,n(m<n). (1)若 m=-1,n=2,求不等式 F(x)>0 的解集; (2)若 a>0,且 0<x<m<n<1a,比较 f(x)与 m 的大小. 【解析】 (1)由题意知,F(x)=f(x)-x=a(x-m)(x-n). 当 m=-1,n=2 时,不等式 F(x)>0, 即 a(x+1)(x-2)>0. 当 a>0 时,不等式 F(x)>0 的解集为{x|x<-1 或 x>2}; 当 a<0 时,不等式 F(x)>0 的解集为{x|-1<x<2}. (2)f(x)-m=F(x)+x-m=a(x-m)(x-n)+x-m =(x-m)(ax-an+1), ∵a>0,且 0<x<m<n<1a, ∴x-m<0,1-an+ax>0. ∴f(x)-m<0,即 f(x)<m.
B 组 专项能力提升

(时间:20 分钟)

11.(xx·安徽皖北第一次联考)若不等式 ax2+bx+2<0 的解集为???x???x<-12 ,或x>???13,

则a-a b的值为(

)

A.56

B.16

1 C.-6

5 D.-6

【解析】 由题意得 ax2+bx+2=0 的两根为-12与13,∴-ba=-12+13=-16,则a-a b=1

b 15 -a=1-6=6.

【答案】 A 12.(xx·天津南开中学统练)设 0<b<1+a,若关于 x 的不等式(x-b)2>(ax)2 的解集

中的整数解恰有 3 个,则( )

A.-1<a<0

B.0<a<1

C.1<a<3

D.3<a<6

【解析】 关于 x 的不等式(x-b)2>(ax)2,即(a2-1)x2+2bx-b2<0,∵0<b<1+a,

[(a+1)x-b][(a-1)x+b]<0 的解集中的整数解恰有 3 个,∴a>1,∴不等式的解集为a--b1

<x<a+b 1<1,∴解集里的三个整数是-2,-1,0.

∴-3≤-a-b 1<-2,∴2<a-b 1≤3,2a-2<b≤3a-3.

∵b<1+a,∴2a-2<1+a,∴a<3,综上,1<a<3.故选 C.

【答案】 C 13.(xx·辽宁鞍山模拟)当 x∈(-∞,1]时,不等式1+a22-x+a+4x·1 a>0 恒成立,则实数

a 的取值范围为________.

【解析】 因为 a2-a+1=???a-12???2+34>0,所以不等式1+a22-x+a+4x·1 a>0 恒成立等价于 1

+2x+4x·a>0 恒成立.由 1+2x+4x·a>0,得-a<41x+24xx=???14???x+???12???x,而函数 y=???14???x+

???12???x为减函数,所以当 x∈(-∞,1]时,ymin=14+12=34,所以-a<34,即 a>-34.所以实数

a 的取值范围为???-34,+∞???. 【答案】 ???-34,+∞??? 14.(xx·山东泰安月考)命题 p:关于 x 的不等式 x2+2ax+4>0 对一切 x∈R 恒成立;
命题 q:函数 f(x)=(3-2a)x 是增函数.若 p 或 q 为真,p 且 q 为假,则实数 a 的取值范围 是________.
【解析】 ①对于命题 p:关于 x 的不等式 x2+2ax+4>0 对于一切 x∈R 恒成立,∴Δ =4a2-16<0,解得-2<a<2.
②对于命题 q:函数 f(x)=(3-2a)x 是增函数,∴3-2a>1,解得 a<1. 当 p 为真,且 q 为假时,有?????- a≥2< 1,a<2,解得 1≤a<2. 当 p 为假,且 q 为真时,有?????aa≤<- 1,2或a≥2,解得 a≤-2. 综上,实数 a 的取值范围为(-∞,-2]∪[1,2). 【答案】 (-∞,-2]∪[1,2) 15.(xx·云南大理)已知 f(x)=-3x2+a(6-a)x+6. (1)解关于 a 的不等式 f(1)>0; (2)若不等式 f(x)>b 的解集为(-1,3),求实数 a、b 的值. 【解析】 (1)∵f(x)=-3x2+a(6-a)x+6, ∴f(1)=-3+a(6-a)+6=-a2+6a+3, ∴原不等式可化为 a2-6a-3<0,解得 3-2 3<a<3+2 3. ∴原不等式的解集为{a|3-2 3<a<3+2 3}. (2)f(x)>b 的解集为(-1,3)等价于方程-3x2+a(6-a)x+6-b=0 的两根为-1,3,
????? 等价于 --11+×33==a-(66-3- 3ba,),解得???ab= =3-±3. 3,
2019-2020 年高考数学总复习 7.4 基本均值不等式及其应用演练提升同步 测评文新人教 B 版
1.下列不等式一定成立的是( )

A.lg???x2+14???>lg x(x>0) B.sin x+si1n x≥2(x≠kπ ,k∈Z)

C.x2+1≥2|x|(x∈R)

D.x2+1 1>1(x∈R)

【解析】 当 x>0 时,x2+14≥2·x·12=x,

所以 lg???x2+14???≥lg x(x>0),故选项 A 不正确;

运用基本不等式时需保证“一正”“二定”“三相等”,

而当 x≠kπ ,k∈Z 时,sin x 的正负不定,

故选项 B 不正确;

由基本不等式可知,选项 C 正确;



x=0

1 时,有x2+1=1,故选项

D

不正确.

【答案】 C

2.(xx·河南百校联盟质检)如图所示,一张正方形的黑色硬纸板,剪去两个一样的小

矩形得到一个“E”形的图形,设小矩形的长、宽分别为 a,b(2≤a≤10),剪去部分的面积

为 8,则b+1 1+a+9 9的最大值为(

)

A.1

B.1101

C.65

D.2

【解析】 由题意,2ab=8,∴b=4a.

∵2≤a≤10,

∴b+1 1+a+9 9=4a+1 1+a+9 9=1+a+3a56+13≤1+2

a·53a6+13=65,

当且仅当 a=3a6,即 a=6 时,b+1 1+a+9 9取得最大值65.

【答案】 C

3.(xx·新疆乌鲁木齐第二次诊断)已知 x,y 都是正数,且 x+y=1,则x+4 2+y+1 1的

最小值为( )

13 A.15

B.2

C.94

D.3

【解析】 由题意知,x+2>0,y+1>0,

(x+2)+(y+1)=4,

则x+4 2+y+1 1=14[(x+2)+(y+1)]???x+4 2+y+1 1???

=14???5+4(xy++21)+xy+ +21???≥14???5+2 x+4 2+y+1 1取最小值94.

4(xy++21)·xy+ +21???=94,当且仅当 x=23,y=13时,

【答案】 C 4.(xx·甘肃白银会宁一中第三次月考)对一切实数 x,不等式 x2+a|x|+1≥0 恒成立,

则实数 a 的取值范围是( )

A.(-∞,-2)

B.[-2,+∞)

C.[-2,2]

D.[0,+∞)

【解析】 当 x=0 时,不等式 x2+a|x|+1≥0 恒成立,当 x≠0 时,则有 a≥-1|-x||x|2

=-???|x|+|1x|???,故 a 大于或等于-???|x|+|1x|???的最大值.由基本不等式可得|x|+|1x|≥2,

∴-???|x|+|1x|???≤-2,即-???|x|+|1x|???的最大值为-2,故实数 a 的取值范围是[-2,
+∞),故选 B.

【答案】 B

5.(xx·武汉模拟)已知正数 x,y 满足 x+2y-xy=0,则 x+2y 的最小值为( )

A.8

B.4

C.2

D.0

【解析】 由 x+2y-xy=0,得2x+1y=1,且 x>0,y>0.

∴x+2y=(x+2y)×???2x+1y???=4xy+xy+4≥4+4=8.

【答案】 A

6.(xx·陕西)设 f(x)=ln x,0<a<b,若 p=f( ab),q=f???a+2 b???,r=12(f(a)+f(b)),

则下列关系式中正确的是( )

A.q=r<p

B.q=r>p

C.p=r<q

D.p=r>q

【解析】 ∵0<a<b,∴a+2 b> ab,

又∵f(x)=ln x 在(0,+∞)上为增函数,

故 f???a+2 b???>f( ab),即 q>p.

又 r=12(f(a)+f(b))=12(ln a+ln b)

1 =2ln

a+12ln

1 b=ln(ab)2

=f( ab)=p.

故 p=r<q.选 C.

【答案】 C

7.(xx·银川模拟)若直线 2ax+by-2=0(a>0,b>0)平分圆 x2+y2-2x-4y-6=0,

则2a+1b的最小值是(

)

A.2- 2

B. 2-1

C.3+2 2

D.3-2 2

【解析】 ∵圆心为(1,2)在直线 2ax+by-2=0 上,∴a+b=1,∴2a+1b=???2a+1b???(a

+b)=3+2ab+ab≥3+2

2b a 2.当且仅当 a =b,即

a=2-

2,b=

2-1 时等号成立.

【答案】 C

8.(xx·安徽安庆二中第一次质检)若 x>0,y>0,则

x+y 的最小值为(

)

x+ y

A. 2

B.1

2

1

C. 2

D.2

【解析】 设 t= x+y ,则 t>0, x+ y

∵t2= x+y x+y+2

xy≥x+xy++yx+y=12,

∴t≥ 22,当且仅当 x=y 时取等号.



x+y 的最小值为 x+ y

22.故选

C.

【答案】 C 9.(xx·湖北华师一附中等八校联考)若 2x+4y=4,则 x+2y 的最大值是________.

【解析】 因为 4=2x+4y=2x+22y≥2 2x·22y=2 2x+2y,所以 2x+2y≤4=22,即 x+2y ≤2,当且仅当 2x=22y=2,即 x=2y=1 时,x+2y 取得最大值 2.
【答案】 2

10.(xx·南京金陵中学第一次联考)已知实数 x,y 满足 x- x+1= y+3-y,则 x +y 的最大值为________.

【解析】 ∵x- x+1= y+3-y,

∴x+y= x+1+ y+3≤2 x+y2+4, 则(x+y)2≤2(x+y+4),解得-2≤x+y≤4.∴x+y 的最大值为 4. 【答案】 4 11.已知 x>0,y>0,且 2x+5y=20. (1)求 u=lg x+lg y 的最大值;

(2)求1x+1y的最小值.

【解析】 (1)∵x>0,y>0,

∴由基本不等式,得 2x+5y≥2 10xy. ∵2x+5y=20,

∴2 10xy≤20,xy≤10, 当且仅当 2x=5y 时,等号成立. 因此有?????22xx+ =55yy= ,20,解得?????xy==52,, 此时 xy 有最大值 10. ∴u=lg x+lg y=lg(xy)≤lg 10=1. ∴当 x=5,y=2 时,u=lg x+lg y 有最大值 1. (2)∵x>0,y>0, ∴1x+1y=???1x+1y???·2x2+0 5y =210???7+5xy+2yx???≥210???7+2 5xy·2yx???

=7+220 10,

当且仅当5xy=2yx时,等号成立.

??2x+5y=20, 由???5xy=2yx,

??x=10 130-20,

解得???y=20-34

10 .

∴1x+1y的最小值为7+220 10.

B 组 专项能力提升

(时间:20 分钟)

12.(xx·重庆巴蜀中学期中)若 a>0,b>0,且函数 f(x)=4x3-ax2-2bx+2 在 x=1

处有极值,则 ab 的最大值等于( )

A.2

B.3

C.6

D.9

【解析】 f′(x)=12x2-2ax-2b,∵y=f(x)在 x=1 处有极值,∴a+b=6.

∵a>0,b>0,∴ab≤???a+2 b???2=9,当且仅当 a=b=3 时取等号,∴ab 的最大值等于

9.故选 D.

【答案】 D

13.(xx·云南大理祥云一中第二次月考)设 a>b>0,则 a2+a1b+a(a1-b)的最小值

是( )

A.1

B.2

C.3

D.4

【解析】

a2



1 ab



1 a(a-b)



ab



1 ab



a(a



b)



1 a(a-b)



4











??ab=a1b,

??a= 2,

???a(a-b)=a(a1-b)时取等号,即???b= 22.

∴a2+a1b+a(a1-b)的最小值为 4.

【答案】 D 14.(xx·天津河西模拟)函数 f(x)=x+x-1 2(x>2)的最小值为________.

【解析】 ∵x>2,∴x-2>0,∴f(x)=x+x-1 2=(x-2)+x-1 2+2≥4, 当且仅当 x=2=1,即 x=3 时取等号.∴函数 f(x)的最小值为 f(3)=4. 【答案】 4 15.(xx·广东北师大东莞石竹附中期中)已知 x>0,y>0,若不等式3x+1y≥x+m3y恒成 立,则 m 的最大值为________. 【解析】 ∵x>0,y>0,不等式3x+1y≥x+m3y恒成立,

∴m≤???3x+1y???(x+3y)恒成立.

又∵???3x+1y???(x+3y)=6+9xy+xy≥6+2 9xy·yx=12,当且仅当9xy=xy,即 x=3y 时取等

号,

∴???3x+1y???(x+3y)的最小值为 12.

由 m≤???3x+1y???(x+3y)恒成立,得 m≤12,即 m 的最大值为 12.

【答案】 12

16.(xx·山东齐鲁名校第二次调研)首届世界低碳经济大会在南昌召开,本届大会以“节

能减排,绿色生态”为主题.某单位在国家科研部门的支持下,进行技术攻关,采用了新工

艺,把二氧化碳转化为一种可利用的化工产品.已知该单位每月的处理量最少为 300 吨,最

多为 600 吨,月处理成本 y(元)与月处理量 x(吨)之间的函数关系可近似地表示为 y=12x2-

200x+45 000,且每处理一吨二氧化碳得到可利用的化工产品价值为 200 元.

(1)该单位每月处理量为多少吨时,才能使每吨的平均处理成本最低?

(2)该单位每月能否获利?如果获利,求出最大利润;如果不获利,则需要国家至少补

贴多少元才能使该单位不亏损?

【解析】

(1)

由题





知,







碳每





平均







本为

1 2

x



45

000 x



200



2 21x·45 x000-200=100,

当且仅当12x=45 x000,即 x=300 时等号成立,故该单位月处理量为 300 吨时,才能使

每吨的平均处理成本最低. (2)获利.设该单位每月获利为 S 元,则 S=200x-y=-12x2+400x-45 000=-12(x-400)2+35 000.因为 x∈[300,600],所
以 S∈[15 000,35 000].故该单位每月获利,最大利润为 35 000 元.




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