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2017-2018学年高中数学课后提升训练十1.5.3定积分的概念新人教A版选修2_2

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课后提升训练 十 (45 分钟 一、选择题(每小题 5 分,共 40 分) 定积分的概念 70 分) 1.计算定积分 A.4 x dx 为 ( B.-4 3 3 ) C.0 D.2 【解析】选 A.令 f(x)=x . x dx≈ 3 f · = = = [1 +2 +3 +…+n ] 3 3 3 3 = ·(n+1) 2 = . 取极限 x dx= ) 3 =4. 2.下列命题不正确的是 ( A.若 f(x)是连续的奇函数,则 f(x)dx=0 B.若 f(x)是连续的偶函数,则 f(x)dx=2f(x)dx -1- C.若 f(x)在[a,b]上连续且恒正,则 f(x)dx>0 D.若 f(x)在[a,b]上连续且 f(x)dx>0,则 f(x)在[a,b]上恒正 【解析】选 D.对于 A,f(-x)=-f(x), f(x)dx= f(x)dx+ f(x)dx =- f(x)dx+ f(x)dx=0,同理 B 正确;由定积分的几何意义知,当 f(x)>0 时 , f(x)dx>0,即 C 正确; 但 f(x)dx>0,不一定有 f(x)恒正,故选 D. 3.已知 f(x)dx=56,则 ( ) A. f(x)dx=28 B. f(x)dx=28 C. 2f(x)dx=56 D. f(x)dx+ f(x)dx=56 【解析】选 D.由 y=f(x),x=1,x=3 及 y=0 围 成的曲边梯形可分拆成两个:由 y=f(x),x=1,x=2 及 y=0 围成的 曲边梯形和由 y=f(x),x=2,x=3 及 y=0 围成的曲边梯形. 所以 f(x)dx= f(x)dx+ f(x)dx, 即 f(x)dx+ f(x)dx=56. ) -2- 【补偿训练】下列值等于 1 的是 ( A. xdx B. (x+1)dx C. 1dx D. dx 【解析】选 C.根据定积分的几何意义求. xdx= ×1×1= , (x+1)dx= ×(1+2)×1= , 1dx=1×1=1, ) dx= ×1= . 4.如图所示,f(x)在区间[a,b]上,则阴影部分的面积 S 为 ( A. f(x)dx B. f(x)dx- f(x)dx C .- f(x)dx- f(x)dx D.- f(x)dx+ f(x)dx 【解析】选 D.在 [a,c]上,f(x)≤0,在[c,b]上,f(x)≥0,则在[a,b]上阴影部分的面积 S=- f(x)dx+ f(x)dx. -3- 5.(2017·长春高二检测)由曲线 y=e 和 x=0,y=2 围成图形的面积 S 表示为 ( ) x A. e dx x B.2ln2- e dx x C. (2+e )dx x D.以上都不对 【解析】选 B.如图所示,可先求得由 x 轴,x=0,x=ln2 和 y=e 围成的曲边梯形的面积 I,即为 矩形面积 2ln2 减去该曲边梯形面积可得所求面积 S. x e dx,再由 x 【补偿训练】已知曲线 y=f(x)在 x 轴下方,则由 y=f(x),y=0,x=-1 和 x=3 所围成的曲线梯形的面积 S 可表 示为 ( ) A. f(x)dx B. f(x)dx C.- f(x)dx D.- f(x)dx 【解析】选 C.因为 f(x)位于 x 轴下方,故 f(x)<0,所以 f(x)dx<0,故上述曲边梯形的面积为 - f(x)dx. 2 6.用定积分计算 y=x 和 y= 所围成的面积等于 ( ) -4- A. (x - 2 )dx B. ( -x )dx 2 C. ( -x )dx 2 2 D. dx 【解析】选 B.如图所示:y=x 和 y= 交于两点(0,0),(1,1). 所以 S= dx- x dx 2 = ( -x )dx. 2 7.(2017·合肥高二检测)定积分 xdx 与 dx 的大小关系是 ( ) A. xdx= dx B. xdx> dx C. xdx< dx D.无法确定 【解析】 选 C.在同一坐标系中画出 y= ∈(0,1)时,y= 与 y=x 的图象如图,由图可见,当 x 的图象在 y=x 的图象上方,由定积分的几何意义 知, xdx< dx. 2 8.(2017·天津高二检测)某汽车做变速直线运动,在时刻 t(单位:h)时的速度为 v(t)=t +2 t(单位:km/h), 那么它在 3≤t≤4 这段时间内行驶的路程 s(单位:km)可表示为 ( ) -5- A. (t +2t)dt 2 B. 1dt C.t +2t 3 2 D. (t +2t)dt 2 【解题指南】物体在某段时间内行驶的路程可以用定积分表示,其中被积函数是 速度关于时间的函数. 【解析】选 A.如图所示,阴影部分的面积表示汽车在 3≤t≤4 这段时间内行驶的路程 s,则 s= v(t)dt = (t +2t)dt. 2 二、填空题(每小题 5 分,共 10 分) 9.将 表示为定积分是_ _______. 【解析】由定积分的定义 = ( )· = ( )· = dx. 答案: dx 10. dx=________. -6- 【解题指南】利用定积分的几何意义求解. 【解析】设 y= ,则 x +y =4(y≥0),由定积分的几何意义知 2 2 dx 的值等于半径为 2 的 圆的面积的 .所以 答案:π dx= ×4π =π . 【延伸探究】利用定积分的几何意义,计算: dx. 【解析】由定积分的几何意义知,所求积



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