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2014届高考数学(山东专用理科)一轮复习题库:第十一章概率与统计11.6离散型随机变量的均值与方差、正态分布

课时作业 60 离散型随机变量的均值与方差、正态分布

一、选择题

1.随机变量 X 的分布列为

X1

2

4

P 0.4 0.3 0.3 则 E(5X+4)等于( ). A.15 B.11 C. 2.2 D.2 .3

2.若 X 是离散型随机变量,P(X=x1)=23,P(X=x2)=13,且 x1<x2,又已知 E(X)=43,

D(X)=29,则 x1+x2 的值为(

).

A.53

B.73

C.3

D.131

3.已知随机变量 ξ 服从正态分布 N(2,σ2),且 P(ξ<4)=0.8,则 P(0<ξ<2)=( ).

A.0.6 B.0.4 C.0.3 D.0.2

4.已知抛物线 y=ax2+bx+c(a≠0)的对称轴在 y 轴的左侧,其中 a,b,c∈{-3,-2,

-1,0,1,2,3},在这些抛物线中,若随机变量 ξ=|a-b|的取值,则 ξ 的数学期望 E(ξ)=( ).

A.89

B.35

C.25

D.13

5.已知分布列为:

ξ -1 0 1

P

1 2

1 3

a

且设 η=2ξ+3,则 η 的均值是( ).

A.73

B.4

C.-1

D.1

6.体育课的排球发球项目考试的规则是:每位学生最多可发球 3 次,一旦发球成功, 则停止发球,否则一直发到 3 次为止.设学生一次发球成功的概率为 p(p≠0),发球次数为 X,若 X 的数学期望 E(X)>1.75,则 p 的取值范围是( ).

A.??0,172??

B.??172,1??

C.??0,12??

D.??12,1??

7.一个篮球运动员投篮一次得 3 分的概率为 a,得 2 分的概率为 b,不得分的概率为

c(a,b,c∈(0,1)),已知他投篮一次得分的均值为 2,则2a+31b的最小值为( ).

A.332

B.238

C.134

D.136

二、填空题

8.有一批产品,其中有 12 件正品和 4 件次品,从中任取 3 件,若 ξ 表示取到次品的个 数,则 E(ξ)=__________.

9.(2012 课标全国高考)某一部件由三个电子元件按下图方式连接而成,元件 1 或元件

2 正常工作,且元件 3 正常工作,则部件正常工作.设三个电子元件的使用寿命(单位:小 时)均服从正态分布 N(1 000,502),且各个元件能否正常工作相互独立,那么该部件的使用寿 命超过 1 000 小时的概率为__________.

10.现有三枚外观一致的硬币,其中两枚是均匀硬币,另一枚是不均匀的硬币,这枚不 均匀的硬币抛出后正面出现的概率为23,现投掷这三枚硬币各 1 次,设 ξ 为得到的正面个数, 则随机变量 ξ 的数学期望 E(ξ)=__________.
三、解答题 11.如图,A 地到火车站共有两条路径 L1 和 L2,据统计,通过两条路径所用的时间互 不影响,所用时间落在各时间段内的频率如下表:

时间/分钟 10~20 20~30 30~40 40~50 50~60

L1 的频率

0.1

0.2

0.3

0.2

0.2

L2 的频率

0

0.1

0.4

0.4

0.1

现甲、乙两人分别有 40 分钟和 50 分钟时间用于赶往火车站.

(1)为了尽最大可能在各自允许的时间内赶到火车站,甲和乙应如何选择各自的路径?

(2)用 X 表示甲、乙两人中在允许的时间内能赶到火车站的人数,针对(1)的选择方案,

求 X 的分布列和数学期望.

12.(2012 湖北高考)根据以往的经验,某工程施工期间的降水量 X(单位:mm)对工期的

影响如下表: Z,xx,k 降水量 X

X<300 300≤X<700 700≤X<900 X≥900

工期延误天数 Y

0

2

6

10

历年气象资料表明,该工程施工期间降水量 X 小于 300,700,900 的概率分别为 0.3,0.7,0.9.

求:

(1)工期延误天数 Y 的均值与方差; (2)在降水量 X 至少是 300 的条件下,工期延误不超过 6 天的概率.

参考答 案

一、选择题 1.A 解析:∵E(X)=1×0.4+2×0.3+4×0.3=2.2,

∴E(5X+4)=5E(X)+4=11+4=15. 2.C 解析:由题意得,23x1+13x2=43,①
D(X)=??x1-43??2×23+??x2-43??2×13=29.②
由①②得 x1=1, x2=2,∴x1+x2=3.
3.C 解析:根据题意,随机变量 ξ 的正态分布密度曲线关于 x=2 对称,故 P(0<ξ<

2)=P(2<ξ<4)=P(ξ<4)-P(ξ<2)=0.8-0.5=0.3.
4.A 解析:对称轴在 y 轴的左侧(a 与 b 同号)的抛物线有 2 C13C13C17 =126 条,ξ 的可
能取值有 0,1,2. P(ξ=0)=61×267=13, P(ξ=1)=81×267=49, P(ξ=2)=41×267=29,E(ξ)=89. 5.A 解析:由12+13+a=1 得 a=16, E(ξ)=(-1)×12+0×13+1×a 11 1 =-2+6=-3, 学_科_

E(η)=E(2ξ+3)=2E(ξ)+3

=2×??-13??+3=73.

6.C 解析:由已知条件可得 P(X=1)=p,P(X=2)=(1-p)p,P(X=3)=(1-p)2p+(1

-p)3=(1-p)2,

则 E(X)=P(X=1)+2P(X=2)+3P(X=3)=p+2(1-p)p+3(1-p)2=p2-3p+3>1.75,解



5 p>2或

1 p<2,又由

p∈(0,1),可得

p∈??0,12??.

7.D 解析:由题意得 投篮一次得分 X 的分布列为

X023 Pcba

E(X)=0×c+2b+3a=2,即 3a+2b=2,

所以2a+31b=3a+a 2b+33ab+×22b =3+2ab+2ab+13
≥130+2 2ab·2ab=130+2=136. 二、填空题 8.34 解析:次品个数 ξ 的可 能取值为 0,1,2,3,

P(ξ=0)=

C132 C136

=2118,

P(ξ=1)= C122C14 C136

=3730,

P(ξ=2)=

C112C42 C136

=790,

P(ξ=3)=

C34 C136

=1410.

学§科§网 Z§X§X§K]

分布列为

ξ0

1

2

3

11 33 9

1

P 28

70

70

140

E(ξ)=0×2118+1×7303+2×790+3×1140=66+14306+3=34.

3 9.8

解析:设元件 1,2,3 的使用寿命超过 1 000 小时的事件分别记为 A,B,C,显然

P(A)=P(B)=P(C)=12,

∴该部件的使用寿命超过 1 000 的事件为(A B + A B+AB)C.

∴该部件的使用寿命超过 1 000 小时的概率为 P=??12 ×12+12×12+12× 12??×12=38.

10.53 解析:抛掷一枚均匀的硬币,出现正面和反面的概率均为12.易得 ξ=0,1,2,3,由

于各枚出现正反面的概率是相互独立的, 所以 P(ξ=0)=12×12×13=112;

P(ξ=1)=

C12

×12×12×13+12×12×23=13;P(ξ=2)=

C

2 2

×12×12×13+

C12

×12×12×23=152;

P(ξ=3)=12×12×23=16.

故 E(ξ)=0×112+1×13+2×152+3×16=53.

三、解答题

11.解:(1)Ai 表示事件“甲选择路径 Li 时,40 分钟 内赶到火车站”, Bi 表示事件“乙选择路径 Li 时,50 分钟内赶到火车站”,i=1,2.

用频率估计相应的概率可得

P(A1)=0.1+0.2+0.3=0.6,P(A2)=0.1+0.4=0.5, ∵P(A1)>P(A2),∴甲应选择 L1; P(B1)=0.1+0.2+0.3+0.2=0.8,P(B2)=0.1+0.4+0.4=0.9, ∵P(B2)>P(B1),∴乙应选择 L2. (2)A,B 分别表示针对(1)的选择方案,甲、乙在各自允许的时间内赶到火车站,

由(1)知 P(A)=0.6,P(B)=0.9,

又由题意知,A,B 独立, ∴P(X=0)=P( A B )=P( A )P( B )=0.4×0. 1=0.04,

P(X=1)=P( A B+A B )=P( A )P(B)+P(A)P( B )

=0.4×0.9+0.6×0.1=0.42,

P( X=2)=P(AB)=P(A)P(B)=0.6×0.9=0.54.

∴X 的分布列为

X0

1

2

P 0.04 0.42 0.54

∴E(X)=0×0.04+1×0.42+2×0.54=1.5.

12.解:(1)由已知条件和概率的加法公式有:

P(X<300)=0.3,P(300≤X<700)=P(X<7 00)-P(X<300)=0.7-0.3=0.4, 学_科_ P(700≤X<900)=P(X<900)-P(X<700)=0.9-0.7=0.2.

P(X≥900)=1-P(X<900)=1-0.9=0.1.

所以 Y 的分布列为:

Y0

2

6 10

P 0.3 0.4 0.2 0.1

于是,E(Y)=0×0.3+2×0.4+6×0.2+10×0.1=3;

D(Y)=(0-3)2×0.3+(2-3)2×0.4+(6-3)2×0.2+(10-3)2×0.1=9.8.

故工期延误天数 Y 的均值为 3,方差为 9.8.

(2)由概率的加法公式,P(X≥300)=1-P(X<300)=0.7,

又 P(300≤X<900)=P(X<900)-P(X<300)=0.9-0.3=0.6.

由条件概率,得 P(Y≤6|X≥300)=P(X<900|X≥300)=P(3P0(0X≤≥X3<009)00)=00..67=67. 故在降水量 X 至少是 300 mm 的条件下,工期延误不超过 6 天的概率是67.




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