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18-19学年高中数学 第三章 空间向量与立体几何 第20课时 空间向量运算的坐标表示新人教B版选修2-1_图文

1.理解空间向量的加法、减法、数乘向量以及数量积的坐标运 算.(重点) 2.会利用平行关系及垂直关系的坐标表示进行相应的判断和证 明.(重点、难点) 3.记住并能应用向量的夹角公式、距离公式的坐标表示.(难点)

1 新知识·预习探究

知识点一 空间向量运算的坐标表示

若 a=(a1,a2,a3),b=(b1,b2,b3).

向量运算

坐标表示

a+b a-b
λa a·b a∥b a⊥b |a|
cos〈a,b〉

(a1+b1,a2+b2,a3+b3) (a1-b1,a2-b2,a3-b3)
(λa1,λa2,λa3) a1b1+a2b2+a3b3 a1=λb1,a2=λb2,a3=λb3 a1b1+a2b2+a3b3=0
a21+a22+a23 a1b1+a2b2+a3b3
a21+a22+a23 b12+b22+b23

【练习 1】 已知向量 a=(1,-2,1),a+b=(-1,2,-1),则 b

等于( )

A.(2,-4,2)

B.(-2,4,-2)

C.(-2,0,-2)

D.(2,1,-2)

解析:b=(a+b)-a=(-2,4,-2). 答案:B

知识点二 空间中向量的坐标及两点间的距离公式
在空间直角坐标系中,设 A(a1,b1,c1),B(a2,b2,c2),则 (1)A→B=(a2-a1,b2-b1,c2-c1); (2)dAB=|A→B| = ?a2-a1?2+?b2-b1?2+?c2-c1?2.

【练习 2】 已知点 A(-1,3,1),B(-1,3,4),D(1,1,1),若A→P=2P→B, 则|P→D|的值是________.

解析:设点 P(x,y,z),则由A→P=2P→B, 得 (x + 1 , y - 3 , z - 1) = 2( - 1 - x,3 - y,4 - z) , 则

???xy-+31==6--22-y2x ,解得???xy==3-1 ,

??z-1=8-2z

??z=3

即 P(-1,3,3),则|P→D|= ?-1-1?2+?3-1?2+?3-1?2= 12=

2 3.答案:2 3

2 新视点·名师博客 对空间向量运算的坐标表示的几点认识 (1)空间向量的加法、减法、数乘、数量积的坐标运算类似于平面 向量的加法、减法、数量积的坐标运算. (2)空间中相等向量的坐标是唯一的. (3)空间两向量平行与平面向量平行的表达式不一样,但实质一 样,即对应坐标成比例.

3 新课堂·互动探究 考点一 空间向量的坐标运算
例 1 已知空间四点 A,B,C,D 的坐标分别是(-1,2,1),(1,3,4), (0,-1,4),(2,-1,-2).若 p=A→B,q=C→D,求下列各式的值:
(1)p+2q;(2)3p-q;(3)(p-q)·(p+q);(4)cos〈p,q〉. 思维启迪:先由点的坐标计算得到向量 p,q 的坐标,然后再进行 各种运算.

解:由于 A(-1,2,1),B(1,3,4),C(0,-1,4),D(2,-1,-2),

所以 p=A→B=(2,1,3),q=C→D=(2,0,-6).

(1)p+2q=(2,1,3)+2(2,0,-6)

=(2,1,3)+(4,0,-12)=(6,1,-9).

(2)3p-q=3(2,1,3)-(2,0,-6)

=(6,3,9)-(2,0,-6)=(4,3,15).

(3)(p-q)·(p+q)=p2-q2=|p|2-|q|2

=(22+12+32)-(22+02+62)=-26.

(4)cos〈p,q〉=|pp|·|qq|=

?2,1,3?·?2,0,-6? 22+12+32× 22+02+?-6?2



-14 14×2

=- 10

35 10 .

点评:1.一个向量在直角坐标系中的坐标等于表示这个向量的有 向线段的终点坐标减去起点坐标.
2.空间向量进行坐标运算的规律是首先进行数乘运算,再进行加 法或减法运算,最后进行数量积运算,先算括号里,后算括号外.

变式探究 1 已知 a=(1,-2,4),b=(1,0,3),c=(0,0,2).求: (1)a·(b+c);(2)4a-b+2c.
解: (1)∵b+c=(1,0,5), ∴a·(b+c)=1×1+(-2)×0+4×5=21. (2)4a-b+2c=(4,-8,16)-(1,0,3)+(0,0,4)=(3,-8,17).

考点二 空间向量平行与垂直的坐标表示 例 2 已知向量 a=(1,x,1-x),b=(1-x2,-3x,x+1),求满足 下列条件时,实数 x 的值: (1)a∥b;(2)a⊥b. 思维启迪:利用向量平行、垂直的条件,分别建立关于 x 的方程, 再解方程即可.

解:(1)∵a∥b,∴a=λb, 即(1,x,1-x)=λ(1-x2,-3x,x+1),

??1=λ?1-x2?, ∴?x=λ?-3x?,
??1-x=λ?x+1?,

解得 x=0 或 2.

(2)∵a⊥b,∴a·b=0, 即(1,x,1-x)·(1-x2,-3x,x+1)=0. ∴1-x2+(-3x)x+(x+1)(1-x)=0,

整理得

5x2-2=0,解得

x=±

10 5.

点评:解决空间向量垂直、平行问题的思路:
(1)若有关向量已知时,通常需要设出向量的坐标.例如,设向量 a=(x,y,z).
(2)在有关平行的问题中,通常需要引入参数.例如,已知 a∥b, 则引入参数 λ,有 a=λb,再转化为方程组求解.
(3)选择向量的坐标形式,可以达到简化运算的目的.

变式探究 2 已知空间三点 A(-2,0,2),B(-1,1,2),C(-3,0,4).设 a=A→B,b=A→C.
(1)设|c|=3,c∥B→C,求 c; (2)若 ka+b 与 ka-2b 互相垂直,求 k.

解:(1)∵B→C=(-2,-1,2),且 c∥B→C, ∴设 c=λB→C=(-2λ,-λ,2λ)(λ∈R).
∴|c|= ?-2λ?2+?-λ?2+?2λ?2=3|λ|=3. 解得 λ=±1.∴c=(-2,-1,2)或 c=(2,1,-2). (2)∵a=A→B=(1,1,0),b=A→C=(-1,0,2), ∴ka+b=(k-1,k,2),ka-2b=(k+2,k,-4). ∵(ka+b)⊥(ka-2b), ∴(ka+b)·(ka-2b)=0. 即(k-1,k,2)·(k+2,k,-4)=2k2+k-10=0.
解得 k=2 或 k=-52.

考点三 利用坐标运算解决夹角、距离问题
例 3 在棱长为 1 的正方体 ABCD-A1B1C1D1 中,E,F 分别为 D1D, BD 的中点,G 在棱 CD 上,且 CG=14CD,H 为 C1G 的中点,应用空 间向量方法求解下列问题:
(1)求证:EF⊥B1C; (2)求 EF 与 C1G 所成角的余弦值; (3)求 FH 的长. 思维启迪:建立空间直角坐标系,确定点的坐标,然后利用向量
的坐标运算来解决.

解析:如图,建立空间直角坐标系 Dxyz, 则有 E???0,0,12???,F???12,12,0???,C(0,1,0),C1(0,1,1),B1(1,1,1), G???0,34,0???.

(1)证明:
E→F=???21,12,0???-???0,0,12???=???21,12,-12???, B→1C=(0,1,0)-(1,1,1)=(-1,0,-1),
∴E→F·B→1C=12×(-1)+12×0+???-21???×(-1)=0, ∴E→F⊥B→1C,即 EF⊥B1C.

(2)∵C→1G=???0,34,0???-(0,1,1)=???0,-41,-1???,

∴|C→1G|= 417.又E→F·C→1G=12×0+12×???-14???+???-21???×(-1)=38,|E→F

|= 23,

∴cos〈E→F,C→1G〉=

→→ EF·C1G →→



|EF||C1G|

51 17 .

即异面直线

EF



C1G

所成角的余弦值为

51 17 .

(3)∵F???21,12,0???,H???0,78,12???, ∴F→H=???-21,38,12???, ∴|F→H|= ???-12???2+???38???2+???12???2= 841.

点评:运用空间向量的坐标运算解决立体几何问题的一般步骤: (1)建系:根据题目中的几何图形建立恰当的空间直角坐标系; (2)求坐标:①求出相关点的坐标;②写出向量的坐标; (3)论证、计算:结合公式进行论证、计算; (4)转化:转化为几何结论.

变式探究 3 如图,在直三棱柱(侧棱垂直于底面的棱柱)ABC- A1B1C1 中,CA=CB=1,∠BCA=90°,棱 AA1=2,N 为 A1A 的中点.
(1)求 BN 的长; (2)求 A1B 与 B1C 所成角的余弦值.

解:如图,以C→A,C→B,12C→C1为单位正交基底建立空间直角坐标 系 C-xyz.
(1)依题意得 B(0,1,0),N(1,0,1), ∴|B→N|= ?1-0?2+?0-1?2+?1-0?2= 3, ∴线段 BN 的长为 3.

(2)依题意得 A1(1,0,2),C(0,0,0),B1(0,1,2),

∴B→A1=(1,-1,2),C→B1=(0,1,2),

∴B→A1·C→B1=1×0+(-1)×1+2×2=3.

又|B→A1|= 6,|C→B1|= 5,

∴cos〈B→A1,C→B1〉=

→→ BA1·CB1 →→



|BA1||CB1|

30 10 .

故 A1B 与 B1C 所成角的余弦值为 1300.

4 新思维·随堂自测

1.给定下列命题 :①若 n1,n2 分别是平面 α,β 的法向量,则 n1 ∥n2?α∥β;②若 n1,n2 分别是平面 α,β 的法向量,则 α∥β?n1·n2 =0;③若 n 是平面 α 的法向量,且向量 a?α,则 a·n=0;④若两个

平面的法向量不垂直,则这两个平面一定不垂直.其中正确命题的个

数是( )

A.1

B.2

C.3

D.4

解析:①③④正确,②中由 α∥β?n1∥n2. 答案:C

2.已知向量 a=(2,4,5),b=(3,x,y),a 与 b 分别是直线 l1,l2 的方向向量,若 l1∥l2,则( )
A.x=6,y=15 B.x=3,y=125 C.x=3,y=15 D.x=6,y=125
解析:∵l1∥l2,a∥b, ∴存在 λ∈R,使 a=λb, 则有 2=3λ,4=λx,5=λy, ∴x=6,y=125. 答案:D

3.已知向量 a=(1,3,5),b=(2,4,6),若 n 与 x 轴垂直,且 a·n= 12,n·b=14,则 n=( )
A.(-3,5,0) B.(0,-1,3) C.???-21,0,52??? D.(0,1,5)
解析:设 n=(0,y,z), 由题意得?????43yy++65zz==1142,, 解得?????yz==3-. 1, ∴n=(0,-1,3). 答案:B

4.已知直线 l 的方向向量为 v=(1,-1,2),平面 α 的法向量为 n =(2,4,1),且 l?α,则 l 与 α 的位置关系是________.
解析:因为 v·n=2-4+2=0,所以 v⊥n.又 l?α,所以 l∥α. 答案:l∥α

5.已知直线 l 的方向向量为(2,m,1),平面 α 的法向量为???1,12,2???, 且 l∥α,则 m=________.
解析:∵l∥α,∴l 的方向向量与 α 的法向量垂直. ∴(2,m,1)·???1,12,2???=2+12m+2=0. 解得 m=-8. 答案:-8

6.如图,ABEDFC 为多面体,平面 ABED 与平面 ACFD 垂直, 点 O 在线段 AD 上,OA=1,OD=2,△OAB,△OAC,△ODE,△ ODF 都是正三角形.求证:直线 BC∥EF.

解析:过点 F 作 FQ⊥AD,交 AD 于点 Q,连接 QE,由平面 ABED

⊥平面 ADFC,知 FQ⊥平面 ABED,以 Q 为坐标原点,Q→E为 x 轴正

向,Q→D为 y 轴正向,Q→F为 z 轴正向,建立如图所示空间直角坐标系.

由条件知 E( 3,0,0),F(0,0, 3),

?
B?
?

23,-32,0???,C???0,-23,

3?

2

?.
?

则有B→C=??-
?

23,0,

23???,

E→F=(- 3,0, 3).

所以E→F=2B→C,即得 BC∥EF.

5 辨错解·走出误区 易错点 转化不等价致误
【典例】 已知向量 a=(5,3,1),b=???-2,t,-25???,若 a 与 b 的 夹角为钝角,求实数 t 的取值范围.

错解:由已知 a·b=5×(-2)+3t+1×???-52??? =3t-552, 因为 a 与 b 的夹角为钝角,所以 a·b<0,
即 3t-552<0,所以 t<5125. 错因分析:a,b 的夹角为钝角与 a·b<0 并不等价,a·b<0 中包含 着〈a,b〉=180°的情形,〈a,b〉=180°的情形,可利用 a=λb(λ< 0),也可利用 a·b=-|a|·|b|,即 cos〈a,b〉=-1 求得,同样 a·b>0 也包含着〈a,b〉=0°的情形,解题时应把这种情况剔除.

正解:由已知 a·b=5×(-2)+3t+1×???-52??? =3t-552, 因为 a 与 b 的夹角为钝角,所以 a·b<0,
即 3t-552<0,所以 t<5125. 若 a 与 b 的夹角为 180°, 则存在 λ<0,使 a=λb(λ<0),

?5=λ?-2?, 即(5,3,1)=λ???-2,t,-25???,所以????31= =λλ???t,-25???
所以 t=-65, 故 t 的取值范围是???-∞,-65???∪???-56,5125???.



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