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2018年春数学九年级下册教案(33份) 湘教版14(优秀教案)

锐角三角函数

第课时 正切与坡度

.理解正切的意义,并能举例说明;(重 点)
.能够根据正切的概念进行简单的计 算;(重点)
.能运用正切、坡度解决问题.(难点)
一、情境导入 观察与思考: 某体育馆为了方便不同需求的观众,设 计了不同坡度的台阶. 问题:图①中的台阶哪个更陡?你是怎 么判断的?
问题:如何描述图②中台阶的倾斜程 度?除了用∠的大小来描述,还可以用什么 方法?

分别求出图中∠、∠的正切值(其中 ∠=°).
由上面的例子可以得出结论:直角三角 形的两个锐角的正切值互为.
解析:根据勾股定理求出需要的边长, 然后利用正切的定义解答即可.
解:如图①,∠==,∠==;如图②, ==,∠=,∠=.
因而直角三角形的两个锐角的正切值 互为倒数.
方法总结:求锐角的三角函数值的方 法:利用勾股定理求出需要的边长,根据锐 角三角函数的定义求出对应三角函数值即 可.
变式训练:见《学练优》本课时练习“课 后巩固提升” 第题
【类型二】 在网格中求正切值

方法一:通过测量与的长度算出它们的 比,来说明台阶的倾斜程度;
方法二:在台阶斜坡上另找一点,测出 与的长度,算出它们的比,也能说明台阶的 倾斜程度.
你觉得上面的方法正确吗? 二、合作探究 探究点一:正切 【类型一】 根据正切的概念求正切值

已知:如图,在由边长为的小正方 形组成的网格中,点、、、、都在小正方形的 顶点上,求∠的值.
解析:先证明△≌△,再根据∠=∠即 可求解.
解:根据题意可得===,===,= =,∴△≌△().∴∠=∠.∴∠=∠=.
方法总结:三角函数值的大小是由角度 的大小确定的,因此可以把求一个角的三角 函数值的问题转化为另一个与其相等的角 的三角函数值.
变式训练:见《学练优》本课时练习“课 后巩固提升” 第题

【类型三】 构造直角三角形求三角函 数值

如图,在△中,∠=°,=,为的 中点,求∠的值.
解析:设==,根据勾股定理可求得= ,再根据等腰直角三角形的性质,可得与的 长,根据线段的和差,可得的长,根据正切 三角函数的定义,可得答案.
解:如图,过作⊥于.设==,根据勾股 定理得=.由为中点,得=.由∠=∠=°, 又⊥,得△是等腰直角三角形,∴==.∴= -=,∠==.
方法总结:求三角函数值必须在直角三 角形中解答,当所求的角不在直角三角形内 时,可作辅助线构造直角三角形进行解答.
变式训练:见《学练优》本课时练习“课 后巩固提升”第题
探究点二:坡度 【类型一】 利用坡度的概念求斜坡的 坡度(坡比)

已知一水坝的横断面是梯形,下底 长,斜坡的坡度为∶,另一腰与下底的夹角 为°,且长为,求它的上底的长(精确到, 参考数据:≈,≈).
解析:过点作⊥于,过点作⊥于,根据 已知条件求出=的值,再根据坡度求出,最 后根据=--求出.
解:过点作⊥,过点作⊥,垂足分别 为、.∵与的夹角为°,∴∠=°,∴∠=°. ∵= ,∴== = (),∴== .∵斜坡的坡度 为∶,∴∠===,∴=.∵=,∴=--= --=-().∵=,∴=-≈().
所以,它的上底的长约为. 方法总结:考查对坡度的理解及梯形的 性质的掌握情况.解决问题的关键是添加辅 助线构造直角三角形. 变式训练:见《学练优》本课时练习“课 后巩固提升”第题 三、板书设计
正切与坡度 .正切的概念 在直角三角形中,=. .坡度的概念 坡度是坡面的铅直高度与水平宽度的 比,也就是坡角的正切值.

堤的横断面如图.堤高是米,迎水 斜坡的长是米,那么斜坡的坡度是( )
.∶ .∶ .∶ .∶ 解析:由勾股定理得=米.则斜坡的坡 度=∶=∶=∶.故选. 方法总结:坡度是坡面的铅直高度和水 平宽度的比,又叫做坡比,它是一个比值, 反映了斜坡的陡峭程度,一般用表示,常写 成=∶的形式. 变式训练:见《学练优》本课时练习“课 堂达标训练”第题 【类型二】 利用坡度解决实际问题

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