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2009_2010第一学期数值分析试卷B参考答案及评分标准

《数值分析》试卷(B)答案及评分标准
一、单项选择题 题号 答案 1 C 2 C 3 A 4 B 5 B 6 D 7 C 8 A 9 D 10 A

二、填空 1. 2. 36.9 12, 5 2 ,5

3.

x?

2 3

4.

? ′( x) < 1
f (1) ? f (0)

5.

三、解:勒让德多项式为 [ ?1, 1] 权函数 ρ ( x ) ≡ 1 的正交多项式.



x=

1+ t 2 ,

t ∈ [?1, 1]

……………………2 分

先作

f (t ) =

1+ t 2 在 [?1, 1] 上的一次最佳平方逼近多项式

P(t ) = aL0 (t ) + bL1 (t ) a= ( f (t ), L0 (t )) = ( L0 (t ), L0 (t ))

∫ ?1 ∫ ?1t
1

1

1+ t dt 2 2 = 1 3 ∫ 1dt
?1

b=

( f (t ), L1 (t )) = ( L1 (t ), L1 (t ))

∫ ?1

1

1+ t dt 4 15 2 2 = = 23 5 t 2 dt

……………………5 分

即 回代得

P (t ) = 1

2 2 + t 3 5 ,

t = 2x ?1

……………………8 分

P( x) =

4 4 x+ 5 15
……………………10 分

为 f ( x ) 在区间 [0, 1] 上的一次最佳平方逼近多项式。 四、解:由题意知,只需求 f ( x) = x ? 115 的一个正根.
2

牛顿迭代函数为

? ( x) = x ?

x 2 ? 115 2x

迭代格式为

xk 2 ? 115 xk +1 = xk ? , k = 0,1, 2,? 2 xk

……………………6 分

取初始值 x = 10 ,则由迭代格式得:

k
0 1 2 3 4

xk
10 10.7500 10.7239 10.7238 10.7238 ……………………10 分

迭代到四步即达到精度要求,所以 115 的近似值为 10.7238. 五、解:建立差商表: -2 -1.5 0.5 1 21 23 22 21 4 -0.5 -2 -1.8 -0.6 0.4

1.5

20

-2

0

0.2

?

2 75

……………………5 分

计算 f ( ?1) ,取节点-2,-1.5,0.5 三点的牛顿迭代二次多项式为

N 2 ( x) = 21 + 4( x + 2) ? 1.8( x + 2)( x + 1.5) f (?1) ≈ N 2 (1) = 24.1
……………………8 分

N 2 ( x) = 22 ? 2( x ? 0.5) (选取0.5, , 三点) 1 1.5 ? ? N 2 ( x) = 23 ? 0.5( x + 1.5) ? 0.6( x + 1.5)( x ? 0.5) (选取-1.5, 0.5 , 1三点) f (0.8) ≈ N 2 ( x) = 21.4 ? ? f (0.8) ≈ N 2 ( x) = 21.436
……………………10 分 六、解: 复化梯形公式:

h=2

∫1

9

xdx ≈

h f f + f f f ] { (1)+(9) 2 [ (3)+(5)+(7)} 2 2 = ?1 + 9 + 2 3 + 5 + 7 ? ? 2? = 17.228

(

)

……………………5 分 复化 simpson 公式:

∫1

9

xdx ≈

h f f + f f f f f f ] f ] { (1)+(9) 2 [ (3)+(5)+(7)+ 4 [ (2)+(4)+(6)+(8)} 6 2 = ?1 + 3 + 2 (1.732 + 2.236 + 2.646 ) + 4 (1.414 + 2.449 + 2 + 2.828 ) ? ? 6? = 17.331
……………………10 分

七、解: 将方程改写为

? 1 0 x1 ? 4 x 2 ? x 3 = 5 ? ? 2 x1 + 1 0 x 2 ? 4 x 3 = 8 ?3 x + 2 x + 10 x = 15 2 3 ? 1
其系数矩阵为严格按行对角占优阵,所以高斯-塞洛尔迭代公式一定收敛.…………5 分 构造迭代格式:

1 ? k +1 k k 4 x 2 ? x3 + 5 = ? x1 10 ? 1 ? k +1 k k = ? 2 x1 + 1 + 4 x 3 + 8 ? x2 10 ? 1 ? k +1 k k = ? 3 x1 + 1 ? 2 x 2 + 1 + 1 5 ? x3 10 ?

( (

) )

(

)
……………………7 分

(2)取

x0 = ( 0, 0, 0 ) 代入上式迭代格式得
T

k
0 1 2 3 4 5

k x1

k x2

k x3

0 0.5000 0.9010 1.0424 1.0090 0.99628

0 0.7000 1.1038 0.0412 0.99094 1.00038

0 1.2100 1.0089 0.98186 0.99912 1.00103 ……………………10 分

《数值分析》试卷(A)答案及评分标准
一、单项选择题 题号 答案 1 D 2 C 3 C 4 B 5 C 6 D 7 A 8 A 9 B 10 A

其它题评分标准与 B 卷相同。




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