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(泰安专版)2019版中考数学 第一部分 基础知识过关 第七章 图形与变换 第24讲 图形的平移、对称和旋转课件_图文

第24讲图形的对称、平移和旋转

总纲目录
泰安考情分析 基础知识过关 泰安考点聚焦 随堂巩固练习

泰安考情分析

基础知识过关
知识点一 平移 知识点二 轴对称与轴对称图形 知识点三 旋转 知识点四 中心对称与中心对称图形

知识点一 平移
1.平移的定义:在平面内,把一个图形沿着① 一定的方向 移动一 定的距离,这种变换叫做平移. 2.平移的性质 (1)通过平移得到的图形与原来的图形是② 全等形 ; (2)在平面内,一个图形经过平移后得到的图形与原来图形的对应 线段③ 相等 ,对应角④ 相等 ,各对应点所连的线段平行(或 在同一条直线上)且相等. 温馨提示 (1)平移的要素:平移的方向和平移的距离. (2)平移只改变图形的位置,不改变图形的形状和大小

知识点二 轴对称与轴对称图形

轴对称

轴对称图形



把一个图形沿着某一条直线折叠,如果它能够 把一个图形沿着某一条直线折



与另一个图形⑤ 完全重合 ,那么这两个图 叠,如果直线两旁的部分能够

形关于这条直线成轴对称,这条直线叫做

⑧互相重合 ,那么称这个图

⑥ 对称轴 ,两个图形中⑦对应的 点叫做 形是轴对称图形,这条直线是

对称点

⑨ 对称轴



(1)成轴对称的两个图形⑩ 全等 ;

轴对称图形的对称轴是任何一



(2)如果两个图形成轴对称,那么对称轴是对 对对应点所连线段的? 垂

应点连线的? 垂直平分线

直平分线



轴对称是指两个图形间的位置关系,轴对称图形是指一个具有轴对称性质的图







如果把轴对称图形沿对称轴分成两部分,那么这两个图形就关于这条直线成轴



对称;如果把轴对称的两个图形看成一个整体,那么它就是一个轴对称图形

知识点三 旋转
1.旋转的定义:在平面内,把一个图形绕一个? 定点 沿某一个 方向(顺时针或逆时针)旋转某个角度,这样的图形运动称为旋转.定
点O叫做? 旋转中心 ,旋转的角叫做?旋转角 ,如果图形上的 点P经过旋转变为点P',那么这两个点叫做这个旋转的对应点.
温馨提示 (1)旋转的要素:旋转中心、旋转方向、旋转角. (2)确定旋转中心的方法:分别作两组对应点所连线段的垂直平分 线,其交点即为旋转中心.

2.旋转的性质

(1)旋转前、后的图形的形状和大小都没有? 发生改变 ;

(2)对应点到旋转中心的距离? 相等 ,对应线段



等 ,对应角? 相等 ;

(3)对应点与旋转中心所连线段的夹角等于? 旋转角 .

知识点四 中心对称与中心对称图形

中心对称

中心对称图形

定义

把一个图形绕着某一点旋转180°,如果它能与 把一个图形绕着某一点旋转

另一个图形重合,那么就说这两个图形关于这 180°,如果它能与原图形重合,

一点成中心对称,这个点叫做对称中心

那么这个图形是中心对称图形,

这个点叫做对称中心,这个图形

的对应点叫做关于对称中心的对

称点

中心对称

中心对称图形

性质

(1)关于中心对称的两个图形,对称点所连线段 中心对称图形上的每一对对称点 都经过对称中心,且被对称中心平分;(2)关于 所连成的线 中心对称的两个图形是全等形;(3)点P(x,y)关 段都被对称中心平分 于原点的对称点P'的坐标是(-x,-y)

区别

中心对称是指两个图形间的位置关系,中心对称图形是指一个具有中心对称性质 的图形

泰安考点聚焦
考点一 识别轴对称图形和中心对称图形 考点二 翻折 考点三 平移 考点四 旋转 考点五 坐标系中的图形变换 考点六 利用轴对称求最短距离

考点一 识别轴对称图形和中心对称图形
例1 (2018淄博)下列图形中,不是轴对称图形的是( C )
?
解析 根据轴对称图形的概念,可知选项C中的图形 不是轴对称图形.故选C.

变式1-1 (2018德州)下列图形中,既是轴对称图形又是中心对称 图形的是?( B )
?
解析 A是中心对称图形;B既是轴对称图形又是中心对称图形 ;C是轴对称图形;D既不是轴对称图形又不是中心对称图形.故 选B.

考点二 翻折
中考解题指导 翻折具有不变性,正确找到对应点、对应线段、 对应角,常结合勾股定理解题.

例2 如图,矩形ABCD中,E是AD的中点,将△ABE沿直线BE折叠 后得到△GBE,延长BG交CD于点F,若AB=6,BC=4?6 ,则FD的长为
?( B )
?
A.2 B.4 C.?6 D.2?3

解析 连接EF,∵△ABE沿直线BE折叠后得到△GBE,∴BG=AB= 6,AE=EG,∠EGB=∠A=90°,∵E是AD的中点,
∴AE=ED=EG.在Rt△EDF与Rt△EGF中,ED=EG,EF=EF,∴Rt△
EDF≌Rt△EGF,∴FD=FG,设FD=FG=x,在Rt△BFC中,BF=6+x, CF=6-x,BC=4?6 ,由BF2=CF2+BC2,即(6+x)2=(6-x)2+(4?6 )2,解得x=4, 故选B.
?

变式2-1 (2017枣庄)如图,把正方形纸片ABCD沿对边中点所在 的直线对折后展开,折痕为MN,再过点B折叠纸片,使点A落在MN 上的点F处,折痕为BE.若AB的长为2,则FM的长为?( B )
?
A.2 B.?3 C.?2 D.1

解析 ∵四边形ABCD为正方形,AB=2,过点B折叠纸片,使点A落 在MN上的点F处, ∴FB=AB=2,BM=1, 则在Rt△BMF中, FM= ?BF2?BM=2 ?22 ?12 =?3 ,
故选B. 方法技巧 折叠前后的两个图形关于折痕所在的直线成轴对 称,折叠前后的两个图形是全等形,对应线段相等,对应角相等.

考点三 平移
中考解题指导 图形的平移和其他知识的综合是泰安中考的热 点问题.

例3 (2018泰安)如图,将正方形网格放置在平面直角坐标系中, 其中每个小正方形的边长均为1,△ABC经过平移后得到△A1B1C1,
若AC上一点P(1.2,1.4)平移后的对应点为P1,点P1绕原点顺时针方 向旋转180°,对应点为P2,则点P2的坐标为?( A )
?
A.(2.8,3.6) B.(-2.8,-3.6) C.(3.8,2.6) D.(-3.8,-2.6)

解析 ∵A(1,1),A1(-3,-4),
∴图形的平移规律为向下平移5个单位长度,再向左平移4个单位 长度.
∵P(1.2,1.4),点P在AC上,点P平移后的对应点为P1, ∴P1(-2.8,-3.6). ∵点P1绕原点顺时针方向旋转180°,对应点为P2, ∴P2(2.8,3.6),故选A.

变式3-1 如图,两个全等的直角三角形重叠在一起,将其中的一
个三角形沿着点B到C的方向平移到△DEF的位置,AB=10,DO=4,
平移距离为6,则阴影部分的面积为? ( A )
?
A.48 B.96 C.84 D.42

解析 由平移的性质知,BE=6,DE=AB=10,S△ABC=S△DEF, ∴OE=DE-DO=10-4=6, ∴S四边形ODFC=S梯形ABEO=?12 (AB+OE)·BE=?×12 (10+6)×6=48.故选A.
方法技巧 在平面直角坐标系中,图形的平移与图形上某点的
平移相同.平移中点的变化规律是横坐标右移加,左移减;纵坐标
上移加,下移减.

考点四 旋转
中考解题指导 在理解旋转的特征时,首先要对照图形,找出旋转 中心、旋转方向、对应点、旋转角.旋转中心的确定分两种情况, 即在图形上或在图形外,若在图形上,哪一点在旋转过程中位置没 有改变,哪一点就是旋转中心;若在图形外,对应点连线的垂直平 分线的交点就是旋转中心.

例4 (2017泰安)如图,在正方形网格中,线段A‘B’是线段AB绕某 点逆时针旋转角α 得到的,点A‘与A对应,则角α 的大小为( C )
?
A.30° B.60° C.90° D.120°

解析 如图.
?
显然,旋转角为90°.

变式4-1 (2017威海)如图,A点的坐标为(-1,5),B点的坐标为 (3,3),C点的坐标为(5,3),D点的坐标为(3,-1),小明发现:线段AB与线 段CD存在一种特殊关系,即其中一条线段绕着某点旋转一个角度可以
得到另一条线段,你认为这个旋转中心的坐标是(1,1)或(4,4 ) .
?

解析 当点A的对应点为点C时,连接AC,BD,分别作线段AC,BD的 垂直平分线交于点E,如图1所示. ∵A点的坐标为(-1,5),B点的坐标为(3,3), ∴E点的坐标为(1,1); 当点A的对应点为点D时,连接AD,BC,分别作线段AD,BC的垂直 平分线交于点M,如图2所示, ∵A点的坐标为(-1,5),B点的坐标为(3,3), ∴M点的坐标为(4,4).
综上所述:这个旋转中心的坐标为(1,1)或(4,4).

?

考点五 坐标系中的图形变换
中考解题指导 考查对称、平移、旋转的作图题时,要细心作图, 找准变换后的对应点;已知图形变换求某点的坐标时,通常需要作 辅助线.

例5 如图,在正方形网格中,△ABC的三个顶点都在格点上,结合
所给的平面直角坐标系解答问题:
(1)将△ABC向右平移5个单位长度,画出平移后的△A1B1C1; (2)画出△ABC关于x轴对称的△A2B2C2; (3)将△ABC绕原点O旋转180°,画出旋转后的△A3B3C3; (4)在△A1B1C1、△A2B2C2、△A3B3C3中, △A2B2C2 与 △A3B3C3 成轴 对称; △A1B1C1 与 △A3B3C3 成中心对称.

解析 (1)△A1B1C1如图所示. (2)△A2B2C2如图所示. (3)△A3B3C3如图所示. (4)△A2B2C2,△A3B3C3,△A1B1C1,△A3B3C3.

变式5-1 如图,△AOB为等腰三角形,顶点A的坐标为(2,?5 ),底边 OB在x轴上.将△AOB绕点B按顺时针方向旋转一定角度后得△A‘ O’B,点A的对应点A‘在x轴上,则点O’的坐标为?( C )
?

A.???? 230

,10 3

? ??

B.?

C.???? 230

,

4 3

D5.????

? ??

16 3

,

4 3

5

? ??

? ??

16 3

,

4

3

? ??

解析 如图,过点A作AC⊥OB于点C,

过点O'作O'D⊥A'B于点D.

∵A(2,?5 ),

∴OC=2,AC=?5 ,

由勾股定理得,OA=3,

∵△AOB为等腰三角形,OB是底边,

∴OB=2OC=2×2=4,由旋转的性质得,BO'=OB=4,∠A'BO'=∠ABO,

∴O'D=4×?5 =?4 ,5 BD=4×2?=8?,

33

33

∴OD=OB+BD=4+?8 =?2 0 ,

33

∴点O‘的坐标为???
?

20 3

,

4

3

5

?
? ?

.

故选C.

?

方法技巧 平移的要素是平移的方向和平移的距离,旋转的要 素是旋转中心、旋转方向、旋转角.

考点六 利用轴对称求最短距离 例6 (2017枣庄)如图,直线y=?x23 +4与x轴、y轴分别交于点A和点 B,点C,D分别为线段AB,OB的中点,点P为OA上一动点,PC+PD值
最小时点P的坐标为?( C )

?

A.(-3,0)

B.(-6,0)

C.?

? ??

?

3 2

D, 0.????

? ??

?

5 2

,0

? ??

解析 作点D关于x轴的对称点D',连接CD'交x轴于点P,此时PC+ PD值最小,如图所示.
?

令y=?2 x+4中x=0,则y=4,
3
∴点B的坐标为(0,4).

令y=?2 x+4中y=0,则?2 x+4=0,解得x=-6,

3

3

∴点A的坐标为(-6,0).

∵点C,D分别为线段AB,OB的中点,

∴点C(-3,2),点D(0,2).

∵点D'和点D关于x轴对称,

∴点D'的坐标为(0,-2).

设直线CD'的解析式为y=kx+b,

∵直线CD'过点C(-3,2),D'(0,-2),

∴有

? ? ?

2 ?

? 2

? ?

3?k ?
b,

b解, 得???? k
?? b

? ?

?4 3
?2,

,

∴直线CD‘的解析式为y=-?4 x-2.
3

令y=-?43 x-2中y=0,则0=-?43 x-2,解得x=-?32 ,

∴点P的坐标为

? ??

?

3 2

,?0 ???.故选C.

方法技巧 此类问题一般是已知直线同侧存在两点,在直线上

取一点,使得该点到已知两点距离之和最短,其解决方法是作其中

一点关于直线的对称点,此两点所在直线与已知直线的交点即为

所求的点.

随堂巩固训练
一、选择题 1.(2017泰安)下列图案,
?
其中,中心对称图形是?( D ) A.①② B.②③ C.②④ D.③④

2.(2018河北)图中是由“?”和“?”组成的轴对称图形,则该 图形的对称轴是直线?( C )
?
A.l1 B.l2 C.l3 D.l4

3.(2018青岛)如图,将线段AB绕点P按顺时针方向旋转90°,得到线 段A'B',其中点A、B的对应点分别是点A'、B',则点A'的坐标是?
(D)
?
A.(-1,3) B.(4,0) C.(3,-3) D.(5,-1)

4.如图,把一张矩形纸片ABCD沿EF折叠后,点A落在CD边上的点 A‘处,点B落在点B’处.若∠2=40°,则图中∠1的度数为( A )
?
A.115° B.120° C.130° D.140°

5.(2017潍坊)小莹和小博士下棋,小莹执圆子,小博士执方子.如图, 棋盘中心方子的位置用(-1,0)表示,右下角方子的位置用(0,-1)表 示.小莹将第4枚圆子放入棋盘后,所有棋子构成一个轴对称图. 她放的位置是( B )
?
A.(-2,1) B.(-1,1) C.(1,-2) D.(-1,-2)

二、填空题
6.如图,将一矩形纸片ABCD折叠,使两个顶点A,C重合,折痕为FG. 若AB=4,BC=8,则△ABF的面积为 6 .
?
解析 由折叠知AF=FC,设BF=x,则AF=FC=8-x,在Rt△ABF中 ,AB2+BF2=AF2,即42+x2=(8-x)2,解得x=3.所以S△ABF=12 ?AB·BF=6.

7.(2017东营)如图,已知菱形ABCD的周长为16,面积为8?3,E为AB 的中点,若P为对角线BD上一动点,则EP+AP的最小值为 2? 3 .
?

解析 如图作CE'⊥AB于E',交BD于P',连接AC,AP'.
?
∵已知菱形ABCD的周长为16,面积为8?3 , ∴AB=BC=4,AB·CE'=8?,3 ∴CE'=2?.3 在Rt△BCE‘中,BE’=? 42 ?(2 3)2 =2, ∵BE=EA=2,∴E与E'重合. ∵四边形ABCD是菱形,

∴BD垂直平分AC, ∴A,C关于BD对称, ∴当P与P'重合时,P'A+P'E的值最小,最小值为CE的长=2?3 .

8.(2018潍坊)如图,正方形ABCD的边长为1,点A与原点重合,点B在 y轴的正半轴上,点D在x轴的负半轴上,将正方形ABCD绕点A逆时 针方向旋转30°至正方形AB'C'D'的位置,B'C'与CD相交于点M,则

点M的坐标为

?
??? ?

1,

3
.3

?
? ?

解析 连接AM,

?

在Rt△AB'M和Rt△ADM中,
?∴??? AARBMt'△?? AAADBM', ,M≌Rt△ADM. ∴∠DAM=∠BAM= 9 0 ? ?2?3 0 ?

=30°.

在Rt△ADM中,

tan ∠DAM=?D M =tan 30°,

∴DM=ADtan 3A0°D =1×?3 =?3 .

∴M??? ? 1 ,
?

3 3

??.
?

33

三、解答题 9.如图,在正方形ABCD中,E,F是对角线BD上两点,且∠EAF=45°, 将△ADF绕点A顺时针旋转90°后,得到△ABQ,连接EQ,求证: (1)EA是∠QED的平分线; (2)EF2=BE2+DF2.

证明 (1)∵将△ADF绕点A顺时针旋转90°后,得到△ABQ,

∴∠QAF=90°,AF=AQ.

∵∠EAF=45°,∴∠QAE=45°.

∴在△AQE和△AFE中,

?

? ? ?

A ?

Q Q

? AF AE ?

, ?

F

A

E

,

?? A E ? A E ,

∴△AQE≌△AFE(SAS),

∴∠QEA=∠FEA,

∴EA是∠QED的平分线.

(2)∵将△ADF绕点A顺时针旋转90°后,得到△ABQ,



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