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最新版湖南省益阳市高一下学期3月月考试题 数学 Word版含答案

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2017 年上学期高一第一次月考

数 学 试 卷
时量:120 分钟 满分:120 分 一、选择题(本大题共 12 小题,每小题 4 分,共 48 分.在下列每小题给出的四 个选项中,只有一项是符合题目要求的.) 1、一组数据 3,4,5,s,t 的*均数是 4,这组数据的中位数是 m,对于任意实数 s,t, 从 3,4,5,s,t,m 这组数据中任取一个, 取到数字 4 的概率的最大值为( ) 2 1 1 3 A、 B、 C、 D、 3 6 5 5 2、现采用随机模拟的方法估计某运动员射击 4 次,至少击中 3 次的概率:先由 计算机给出 0 到 9 之间取整数值的随机数,指定 0,1 表示没有击中目标, 2,3,4,5,6,7,8,9 表示击中目标,以 4 个随机数为一组,代表射击 4 次的结果, 经随机模拟产生了 20 组随机数: 7527 0293 7140 9857 0347 4373 8636 6947 1417 4698 0371 6233 2616 8045 6011 3661 959 7 7424 7610 4281 根据以上数据估计该射击运动员射击 4 次至少击中 3 次的概率为( ) A、0.852 B、0.8192 C、0.8 D、0.75 3、阅读如下程序框图,运行相应的程序,则程序运行后输出的结果为( )

A、7 B、9 C、10 D、11 4、若某地财政收入 x 与支出 y 满足线性回归方程 y=bx+a+e(单位:亿元), 其中 b=0.8,a=2,|e|<0.5,如果今年该地区财政收入 10 亿元,年支出预计 不会超过( ) A.10 亿 B.9 亿 C.10.5 亿 D.9.5 亿 5、定义 n!=1×2×…×n,下面是求 10!的程序,则_____处应填的条件是( )
i=1,s=1 Do S=s*i i=i+1 LOOP UNTIL _____ PRINT s END

A、i>10 B、i>11 C、i<=10 D、i<=11 2 6、设一组数据的方差为 s ,将这组数据的每个数据都乘以 10,所得到的一组新 数据的方差是( )
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A、0.1s2 B、s2 C、10s2 D、100s2 7、设 m,n 是两条不同的直线, ? , ? , ? 是三个不同的*面,给出下列四个命 题:①若 m⊥ ? ,m⊥n,则 n∥ ? ;②若 ? ∥ ? , ? ∥ ? ,m⊥ ? ,则 m⊥ ? ;③ 若 m∥ ? ,n∥ ? ,则 m∥n;④若 ? ⊥ ? , ? ⊥ ? ,则 ? ∥ ? .其中正确命题的个 数有( ) A、0 B、 1 C、2 D、3 1 8、若 f(x)= ,则 f(x+1)的定义域为( ) log1 (2 x-1)
2

1 A、 (- ,0) 2 +∞)

B、 (-

1 ,0] 2

C、 (-

1 ,+∞) 2

D、 (0,

? 3x ( x ?1) 9、函数 f(x)= ? log1 x ( x>1) ,则 y=f(1-x)的图象是( ? 3

)

10、已知定义在 R 上的函数 f(x)= 2|x-m| -1(m∈R)为偶函数.记 a=f( log1 4 ),
3

b=f( log2 5 ),c=f(2m),则 a、b、c 的大小关系为( ) A、a<b<c B、c<a<b C、a<c<b D、c<b<a 11、如图,网格纸上小正方形的边长为 1,粗线画出的是某多面体的三视图,则 该几何体的各个面中最大面的面积为( )

5 C、 6 D、2 3 2 12、设直线 3x+4y+a=0,圆 C:(x-2)2+y2=2,若在圆 C 上存在两点 P、Q, 在直线 L 上存在一点 M,使得∠PMQ=900,则 a 的取值范围是( ) A、[-18,6] B、[6-5 2 ,6+5 2 ] C、[-16,4] D、[-6-5 2 ,-6+5 2 ]

A、1

B、

二、填空题(本大题共 4 小题,每小题 4 分,共 16 分,把答案填在答题卡中对 应题号后的横线上) 13、函数 f(x)= e x ln x -1 的零点个数是_____个.

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14、采取系统抽样的方法从 1000 名学生中抽出 20 名学生,将这 1000 名学生随 机编号 000~999 号并分组:第一组 000~049 号,第二组 050~099 号,…,第 二十组 950~999 号,若在第三组中抽得号码为 122 的学生,则在第十八组中抽 得号码为__________的学生. 15、 在区间[0,5]上随机地选择一个数 t,则方程 x2+2tx+3t-2=0 有两个负实 根的概率为__________. 16、甲、乙两艘轮船都要在某个泊位停靠 8 小时,假定它们在一昼夜的时间段中 随机地到达,则这两艘船中至少有一艘在停靠泊位时必须等待的概率为_______ ___. 三、解答题(本大题共 6 小题,共 56 分.解答应写出必要的文字说明.证明过程 或演算步骤) 17、(本小题满分 8 分)广场舞是现代城市群众文化、娱乐发展的产物,是精神文 明建设成果的一个重要指标和象征。2015 年某高校社会实践小组对某小区广场 舞的开展状况进行了年龄的调查,随机抽取了 40 名广场舞者进行调查,将他们 的年龄分成 6 段:[20,30),[30,40),[40,50),[50,60),[60,70),[70,80), 得到如 图的频率分布直方图。问:(1)估计在 40 名广场舞者中年龄分布在[40,70)的人 数; (2)求 40 名广场舞者年龄的众数和中位数的估计值;(3)若从年龄在[20,40) 中的广场舞者中任取 2 名, 求这两名广场舞者中年龄在[30,40)恰有 1 人的概率.

18、(本小题满分 8 分)假设关于某设备的使用年限 x(年)和所支出的维修费用 y(万元)有如下表的统计资料: 使用年限 x(年) 2 3 4 5 6 维修费用 y(万元) 2.2 3.8 5.5 6.5 7.0 若由资料可知 y 对 x 呈线性相关关系,试求: (1)线性回归方程; (2)根据回归直线方程,估计使用年限为 12 年时,维修费用是多少?

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参考公式: b ?

?

?x y
i ?1 n i

n

i

?nx y ?nx
?2

? ?

?x
i ?1

, a ? y? b x , y ? b x ? a

?

?

? ?

?

?

?

2 i

19、(本小题满分 10 分)一个均匀的正四面体的四个面分别写有 1,2,3,4 四个 数字,现随机投掷两次,正四面体底面上的数字分别为 x1,x2,记 t= ( x1 ? 3)2 ? ( x2 ? 3)2 . (1)分别求出 t 取得最大值和最小值时的概率; (2)求 t≥4 的概率.

20、(本小题满分 10 分)如图所示,在四棱锥 P-ABCD 中,底面 ABCD 是正方形, 侧棱 PD⊥底面 ABCD,PD=DC,E 是 PC 的中点, 作 EF⊥PB 交 PB 于点 F. (1)证明 PA∥*面 EDB; (2)证明 PB⊥*面 EFD; (3)求二面角 C-PB-D 的大小.

21、(本小题满分 10 分)已知圆 O:x2+y2=4 和点 M(1,a). (1)若过点 M 有且只有一条直线与圆 O 相切,求实数 a 的值,并求出切线方程. (2)若 a= 2, 过点 M 作圆 O 的两条弦 AC, BD 互相垂直, 求|AC|+|BD|的最大值.

22、(本小题满分 10 分)已知函数 f(x)=2x+1 定义在 R 上. (1)若 f(x)可以表示为一个偶函数 g(x)与一个奇函数 h(x)之和, 设 h(x)=t, p(t)
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=g(2x)+2mh(x)+m2-m-1(m∈R),求出 p(t)的解析式; (2)若 p(t)≥m2-m-1 对于 x∈[1,2]恒成立,求 m 的取值范围.

2017 年上学期月考 高一数学试卷
ADBCA 13、1 DBACB DC 15、
2 3

14、872

16、

5 9

17、(8 分)解:(1)40 名广场舞者中年龄分布在 , 估计在 40 名广场舞者中年龄分布在 (2)频率分布直方图中小矩形最高的是区间 名广场舞者年龄的众数的估计值为 55. 区间人的频率为 名广场舞者年龄的中位数的估计值为: (3)年龄在 其中 从年龄在 场舞者中年龄在 中的广场舞者共 区间内有 人,

的频率为:

的人数为: , , . 人,

.

中的广场舞者中任取 2 名的基本事件有 15 个,其中这两名广 8 恰有 1 人的事件有 8 个,概率 P=15. 2 3 3.8 11.4 9
- 5 2 i

18、(8 分)解:(1)列表 i 1 xi 2 yi 2.2 xiyi 4.4 2 xi 4

3 4 5.5 22.0 16
- 5

4 5 6.5 32.5 25

5 6 7.0 42.0 36

合计 20 25 112.3 90

x=4,y=5; ∑ x =90;∑ xiyi=112.3 i=1 i=1
5 ^ - -

∑ xiyi-5x y 112.3-5×4×5 ^ - ^- i=1 b= 5 = =1.23,于是a=y-bx=5-1.23×4=0.08. - 2 2 90-5×4 ∑ x2 i-5x i=1
^

所以线性回归直线方程为y=1.23x+0.08.
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^

(2)当 x=12 时,y=1.23×12+0.08=14.84(万元), 即估计使用 12 年时,维修费用是 14.84 万元. 19、(10 分)解:(1)当 x1=x2=1 时,t= + P= ;当 x1=x2=3 时,t= +

可取得最大值 8,此时 ;(2)

可取得最小值 0,此时 P=

当 t≥4 时,t 的取值为 5,8.①当 t=5 时,(x1,x2)可能是:(2,1)、(1, 4)、(1,2)、(4,1);此时 P= ≥4 的概率为 + 5 =16. ;②当 t=8 时,由(1)可知:P= .∴t

20、(10 分)(1)证明:如图所示,连接 AC,AC 交 BD 于 O,连接 EO.∵底面 ABCD 是正方形, ∴点 O 是 AC 的中点. 在△PAC 中,EO 是中位线,∴PA∥EO. 而 EO? *面 EDB 且 PA?*面 EDB,∴PA∥*面 EDB. (2)证明 ∵PD⊥底面 ABCD,且 DC? 底面 ABCD, ∴PD⊥DC.∵PD=DC,可知△PDC 是等腰直角三角形. 而 DE 是斜边 PC 的中线,∴DE⊥PC.① 同样,由 PD⊥底面 ABCD,得 PD⊥BC. ∵底面 ABCD 是正方形,有 DC⊥BC.∴BC⊥*面 PDC. 而 DE? *面 PDC,∴BC⊥DE.② 由①和②且 PC∩BC=C 可推得 DE⊥*面 PBC. 而 PB? *面 PBC,∴DE⊥PB.又 EF⊥PB 且 DE∩EF=E,∴PB⊥*面 EFD. (3)解 由(2)知,PB⊥DF.故∠EFD 是二面角 C-PB-D 的*面角. 由(2)知 DE⊥EF,PD⊥DB.设正方形 ABCD 的边长为 a,则 PD=DC=a,BD= 2a, 1 2 PB= PD2+BD2= 3a,PC= PD2+DC2= 2a,DE= PC= a, 2 2 在 Rt△PDB 中, DF= PD·BD a· 2a 6 DE 3 = = a.在 Rt△EFD 中, sin∠EFD= = , PB 3 DF 2 3a

∴∠EFD=60°.∴二面角 C-PB-D 的大小为 60°. 21、(10 分)解:(1)由条件知点 M 在圆 O 上,所以 1+a2=4,则 a=± 3.当 a 3 3 = 3时,点 M 为(1, 3),kOM= 3,k 切=- ,此时切线方程为 y- 3=- 3 3 (x-1).即 x+ 3y-4=0,当 a=- 3时,点 M 为(1,- 3),kOM=- 3,k 切 3 3 = .此时切线方程为 y+ 3= (x-1).即 x- 3y-4=0.所以所求的切线 3 3 方程为 x+ 3y-4=0 或 x- 3y-4=0. 2 2 (2)设 O 到直线 AC,BD 的距离分别为 d1,d2(d1,d2≥0),则 d2 1+d2=OM =3.又有 |AC|=2 4-d2 |BD|=2 4-d2 所以|AC|+|BD|=2 4-d2 4-d2 1, 2, 1+2 2.则(|AC| 2 2 2 2 2 + |BD|) = 4 × (4 - d 1 + 4 - d 2 + 2 4-d1 · 4-d2 ) = 4 × [5 + 2 2 2 2 2 2 2 2 16-4(d2 4+d2 1+d2)+d1d2]=4×(5+2 1d2).因为 2d1d2≤d1+d2=3,所以 d1

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9 6 5 2 2 2 2 d2≤ ,当且仅当 d1=d2= 时取等号,所以 4+d1d2≤ ,所以(|AC|+|BD|) 4 2 2 5? ? ≤4×?5+2× ?=40.所以|AC|+|BD|≤2 10,即|AC|+|BD|的最大值为 2 10. 2? ? 22、(10 分)解: (1)假设 f ( x) ? g ( x) ? h( x) ①,其中 g ( x) 偶函数,h( x) 为奇函数, 则有 f (? x) ? g (? x) ? h(? x) ,即 f (? x) ? g ( x) ? h( x) ②, f ( x) ? f ( ? x) f ( x) ? f (? x) 由①②解得 g ( x) ? , h( x ) ? . 2 2 ∵ f ( x) 定义在 R 上,∴ g ( x) , h( x) 都定义在 R 上. f (? x) ? f ( x) f ( ? x) ? f ( x) ? g ( x ) , h( ? x ) ? ? ? h( x ) . ∵ g (? x) ? 2 2 ∴ g ( x) 是偶函数, h( x) 是奇函数,∵ f ( x) ? 2x?1 ,
f ( x) ? f (? x) 2 x ?1 ? 2? x ?1 1 ? ? 2x ? x , 2 2 2 x ?1 ? x ?1 f ( x) ? f ( ? x) 2 ? 2 1 h( x ) ? ? ? 2x ? x . 2 2 2 1 1 1 由 2 x ? x ? t ,则 t ? R ,*方得 t 2 ? (2 x ? x ) 2 ? 22 x ? 2 x ? 2 , 2 2 2 1 ∴ g (2 x) ? 22 x ? 2 x ? t 2 ? 2 ,∴ p(t ) ? t 2 ? 2mt ? m2 ? m ? 1 . 2 3 15 (2)∵ t ? h( x) 关于 x ? [1, 2] 单调递增,∴ ? t ? . 2 4 t2 ? 2 ? 3 15 ? 2 2 2 ∴ p(t ) ? t ? 2mt ? m ? m ? 1 ? m ? m ?1 对于 t ? ? , ? 恒成立,∴ m ? ? 对 2t ?2 4 ? t2 ? 2 t 1 ? 3 15 ? 于 t ? ? , ? 恒成立,令 ? (t ) ? ? =-( + ),此对勾函数的”拐点”为 2 t 2t ?2 4 ?

∴ g ( x) ?

x=± 2 , 函数在(0, 2 )递增, ( 2, +∞)递减, 故 ? (t ) ? ?
3 17 17 上单调递减,∴ ? (t ) max ? ? ( ) ? ? ,∴ m ? ? . 2 12 12

t2 ? 2 ? 3 15 ? 在t ?? , ? 2t ?2 4 ?

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