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第2章 控制系统的数学模型-文档资料_图文

第二章 控制系统的数学模型
2-1 2-2 2-3 2-4 2-5 引言 微分方程的建立及线性化 拉普拉斯变换 传递函数 控制系统的结构图和信号流图

2-1 引言
数学模型
1.定义:描述控制系统的输入和输出之间动态 关系的数学表达式。数学模型是分析和设计 自动控制系统的基础。 2.为什么要建立数学模型:我们需要了解系统 的具体的性能指标,只是定性地了解系统的 工作原理和大致的运动过程是不够的,希望 能够从理论上对系统的性能进行定量的分析 和计算。要做到这一点,首先要建立系统的 数学模型。它是分析和设计系统的依据。

另一个原因:许多表面上看来似乎毫无共 同之处的控制系统,其运动规律可能完全 一样,可以用一个运动方程来表示,称为 相似系统。我们可以不单独地去研究具体 系统而只分析其数学表达式,即可知其变 量间的关系,这种关系可代表数学表达式 相同的任何系统。 比如机械平移系统和RLC电路就可以用同 一个数学表达式描述,具有相同的数学模 型。

3.表示形式

a.微分方程 b.传递函数 c.频率特性 三种数学模型之间的关系 线性系统

拉氏 傅氏 传递函数 变换 微分方程 频率特性 变换

同一个系统,可以选用不同的数学模型, 研究时域响应时可以用传递函数,研究频 域响应时则要用频率特性。

4.建立方法
a.分析法 分析法是根据支配系统的内在运动规律以 及系统的结构和参数,推导出输入量和输 出量之间的数学表达式,从而建立数学模 型——适用于简单的系统。

b.系统辨识法 系统辨识法是利用系统的输入--输出信号来建立 数学模型的方法。通常在对系统一无所知的情 况下,采用这种建模方法。
输入
黑箱 输出

但实际上有的系统还是了解一部分的,这时称 为灰箱,可以分析法与系统辨识法一起用,较 准确而方便地建立系统的数学模型。

实际控制系统的数学模型往往是很复杂的, 在一般情况下,常常可以忽略一些影响较小 的因素来简化,但这就出现了一对矛盾:简 化与准确性。不能过于简化,而使数学模型 变的不准确,也不能过分追求准确性,使系 统的数学模型过于复杂。

2-2 微分方程的建立及线性化
一 微分方程的建立
微分方程是控制系统最基本的数学模型,要 研究系统的运动,必须列写系统的微分方程。 一个控制系统由若干具有不同功能的元件组 成,首先要根据各个元件的物理规律,列写 各个元件的微分方程,得到一个微分方程组, 然后消去中间变量,即得控制系统总的关于 输入和输出的微分方程。

列写系统(或元件)微分方程的一般步骤:
1.分析系统的工作原理和信号传递变换的过程,确 定系统和各元件的输入、输出量。
2.从系统的输入端开始,按照信号传递变换过程, 依据各变量所遵循的物理或化学规律,依次列写 出各元部件的微分方程。

3.消去中间变量,得到一个描述系统输入、输出变 量之间关系的微分方程。
4.写成标准形式。将与输入有关的项放在等式右端, 与输出有关的项放在等式的左端,且各阶导数项 按降幂排列。

列写元件微分方程的时候要考虑负载效应!

例1.机械平移系统 求在外力F(t)作用下,物 体的运动轨迹。
阻尼器 x(t) F(t) k m

阻尼系数f

首先确定:输入F(t),输出x(t) 其次:理论依据 1.牛顿第二定律 物体所受的合外力等于物 体质量与加速度的乘积 2.牛顿第三定律 作用力等于反作用力 单独取出m进行分析。
F1(弹簧的拉力) F(t)外力

m
F2阻尼器的阻力

而? F ? ma

F1 ? kx(t ) F2 ? fx ?(t )

a ? x??(t ) ? F (t ) ? F1 ? F2 ? ma 代入上式得F (t ) ? kx(t ) ? fx?(t ) ? mx??(t )
写微分方程时,常习惯于把输出写在方程的 左边,输入写在方程右边,而且微分的次数 由高到低排列 。 所以机械平移系统的微分方程为:

mx??(t ) ? fx?(t ) ? kx(t ) ? F (t )

例2.RLC电路 研究在输入电压ur(t)作用下,电容上 电压uc(t)的变化。
R ur(t) L i(t) C uc(t)

依据:电学中的基尔霍夫定律

di (t ) u (t ) ? Ri(t ) ? L ? u (t ), (1) dt 1
r c

uC (t ) ?

i (t )dt , (2)(两边求导) ? C

duC (t ) ? i (t ) ? C dt 由(2)代入(1)得:消去中间变量i(t)

du (t ) d u (t ) u (t ) ? RC ? LC ? u (t ) dt dt
2 C C r 2 C

整理成规范形式

?? (t ) ? RCuC ? (t ) ? uC (t ) ? u r (t ) 即LCuC
RLC电路与机械平移系统的数学模型很相似, 故可用电子线路来模拟机械平移系统,这也证 明了我们前面讲到的,看似完全不同的系统, 具有相同的运动规律,可用相同的数学模型来 描述。--相似系统

例3. 求下图所示运算放大器的微分方程。图中 Rf是反馈电阻, Ri是输入电阻;ur 是输入电压 , uc是输出电压。
Rf ur ir Ri i0 uε R if uc

+

运算放大器有同相(+)和反相(-)两个输入端。 带负号的输入端为反相输入,此输入所产 生的输出与输入极性相反。带正号的输入 为同相输入,它所产生的输出极性不变。 两个输入有差分作用,即输出电压与两个 输入端的电压差成正比,同相输入端与ur和 uc共地。运算放大器常用的是反相输入端, 它利用负反馈原理,把一部分与输入信号反 相的输出信号送回输入端。

运算放大器具有高增益k=105~109,而通常uc小 于10伏,因为uε=-uc/k,所以运算放大器的输入 电压uε近似等于0,这种反相输入端电位为0的 现象,是运算放大器的共同特点,叫做“虚 地”,又因为运算放大器的输入阻抗很高,所 以流入放大器的电流i0也近似等于0。这个现象 叫做“虚断”,ir=if ur ? u? u? ? uc ? 由此导出: Ri Rf

uc ur ? ? Rf Ri

例4.速度控制系统的数学模型——微分 方程
+
R2

R2
R1

ui

R1

? K1

u1
C

? K2

?

+

R1

u 2 功率 放大

ua
-

M

?m

?

负 载

ut
TG

ui

u? 运算放 u1 运算放 u2

-

大器I

大器II

功率 ua 放大器

直流 电动机

wm

齿轮系 ut 测速发电机 w

速度控制系统的方块图

解:首先确定整个系统输入 u i ,输出?
1、运算放大器Ⅰ 输入量(即给定电压)与速度反馈 电压在此合成产生偏差电压并经放大,即

u1 ? K1 (ui ? ut )
式中是运算放大器Ⅰ的比例系数。

2、运算放大器Ⅱ 考虑校正网络,与之间的微分方程 为 du1 u2 ? K 2 (? ? u1 ) dt 式中是运算放大器Ⅱ的比例系数,是微分时间常数。

3、功率放大器 本系统采用晶闸管整流装置,它包括触发 电路和晶闸管主回路。忽略晶闸管控制电 路的时间迟后,其输入输出方程为

u a ? K 3u 2
式中为 K 3 比例系数。

4、直流电动机 直接引用例2-9所求得的直流 电动机的微分方程式: dwm (t ) Tm ? wm (t ) ? K1ua (t ) ? K 2 M c (t ) dt

K1 、 K 2 及 M c均是考虑齿轮系和负载 式中Tm 、 后,折算到电动机轴上的等效值。 5、齿轮系 设齿轮系的速比为 i ,则电动机 转速 ? m 经齿轮系减速后变为 ,故有

?

1 ? ? ?m i

6、测速发电机 测速发电机的输出电压 u t 与 其转速 成正比,即有

?

ut ? K t ?
式中是 K t 测速发电机比例系数。 从上述各方程中消去中间变量,经整理后便 得到控制系统的微分方程

d? ' dui ' ? ? Tm ? ? ? Kg ? K g ui ? K c M c dt dt

二 线性系统的基本特性
1.定义:用线性微分方程描述的系统称为线性 系统。 线性微分方程:微分方程中所含的未知函数 及未知函数的导数都是一次的 。

若线性微分方程的系数是常数称为线性定常 系统;系数是时间的函数叫线性时变系统。

2 重要特点
对线性系统可以应用可加性和齐次性 (叠加原理),对研究带来了极大的方便。 假设系统输入为r(t)、r1(t)、r2(t),对应的输出 为c(t)、c1(t)、c2(t) 如果r(t)=r1(t)+r2(t)时, c(t)=c1(t)+c2(t) 满足可加性 如果r(t)=k· r1(t)时(k为常数), c(t)=k· c1(t) 满足齐次性

可加性的应用:欲求系统在几个输入信号和 干扰信号同时作用下的总响应,只要对这几 个外作用单独求响应,然后加起来就是总响 应。 齐次性表明:当外作用的数值增大若干倍时, 其响应的数值也增加若干倍。这样,我们可 以采用单位典型外作用(单位阶跃、单位脉 冲、单位斜坡等)对系统进行分析——简化 了问题。

三 非线性微分方程的线性化
1.几种常见的非线性特性

饱和

死区

间隙

非线性微分方程的求解很困难。但在一定 条件下,可以近似地转化为线性微分方程, 使系统的动态特性的分析大为简化。实践 证明,这样做能够圆满地解决许多工程问 题,有很大的实际意义。

2.线性化的方法
(1)忽略弱非线性因素 如果元件的非线性 因素较弱或者不在系统非线性工作范围以 内,则它们对系统的影响很小,就可以忽 略。

(2)小偏差法(切线法,增量线性化法) 小偏差法基于一种假设,就是在控制系统的 整个调节过程中,各个元件的输入量和输出 量只是在平衡点附近作微小变化。这一假设 是符合许多控制系统实际工作情况的,因为 对闭环控制系统而言,一有偏差就产生控制 作用,来减小或消除偏差,所以各元件只能 工作在平衡点附近。

y
y ? f ( x)

y0

x0
非线性特性的线性化

x

A(x0,y0)平衡点,函数在平衡点处连续可微,则可 将函数在平衡点附近展开成台劳级数

dy y ? f ( x) ? y 0 ? dx

1 d2y ( x ? x0 ) ? 2 2! dx x0

( x ? x0 ) 2 ? ??
x0

忽略二次以上的各项,上式可以写成

?y ? k?x ?x ? x ? x0
略去增量符号, 数学模型

?y ? y ? y0
dy k ? dx
x0

y ? kx 就是非线性元件的线性化

注意:线性化方法只适用于一些非线性程 度较低的系统,对于某些严重的非线性, 如

继电特性

不能作线性化处理,一般用相平面法及描 述函数法进行分析。

建立了系统的微分方程后,要对系统进行分析 就要求解微分方程,而: (1)高阶微分方程难于求解? (2)微分方程的解与其系数没有明确的对应关 系,系统设计麻烦?
引入拉普拉斯变换: (1)变微分方程为代数方程,并引入了积分常 数,很容易求解? (2)可得到系统复域数学模型-传递函数?

2-3 拉普拉斯变换
一、Fourier变换与Laplace变换
周期函数满足狄里赫莱条件: 1)在一个周期内只有有限个不连续点; 2)在一个周期内只有有限个极大值和极小值; 3)积分 T / 2 存在。 f ( t ) dt ? 即可展开为傅氏级数 ?T / 2 ?
f (t ) ?

其中

, 1 T /2 an ? ? f (t )e ? jnwt dt w ? 2? / T T ?T / 2

n ? ??

jnwt a e ? n

非周期函数,T趋于无穷大,有傅里叶积分:
1 f (t ) ? 2?
?

? [?
??

?

?

??

f (t )e

? jwt

dt ]e dw

jwt

令 F (w) ? ??? f (t )e? jwt dt

1 ? 则 f (t ) ? ??? F ( w)e jwt dw 2? F ( w) 称为 f (t ) 的傅氏变换; f (t ) 称为 F ( w)

的傅氏反变换。 对于有些函数,随着时间t趋于无穷 f (t ) 衰减的 太慢,不满足狄里赫莱第三条件

如单位阶跃函数1(t),其傅氏变换
F ( w) ? ? e
0 ? ? jwt

1 dt ? (sin wt ? j cos wt ) 不存在 w 0
? ??t ? jwt

?

??t e 引入衰减因子 (? ? 0) ,则其傅氏变换

F? ( w) ? ? e e
0

1 dt ? ? ? jw

存在

将 f (t ) 乘以 e (? ? 0) 进行傅氏变换,并 令 s ? ? ? jw 则傅氏变换成为Laplace变换。 对自动控制系统,我们只考虑单边拉氏变换。

??t

二、拉氏变换
1.定义:设函数f (t)当t>=0时有定义,而且 ? 积分 ? st

F ( s) ? ? f (t )e dt
0

存在,则称F(s)是f(t)的拉普拉斯变换(s 为复变量),简称拉氏变换。记为

F ( s) ? L[ f (t )]
?1

f (t)称为 F(s)的拉氏反变换。记为:

f (t ) ? L [ F ( s)]

2.常用函数的拉氏变换
例1.求阶跃函数f(t)=A· 1(t)的拉氏变换。
A F ( s ) ? ? Ae dt ? ? e s
? ? st 0 ? ? st

例2.求单位脉冲函数f(t)=δ(t)的拉氏变换。
? 0 0
?

1 单位阶跃函数f(t)=1(t)的拉氏变换为 。 s
F ( s ) ? ? ? (t )e? st dt ? ? ? (t )e? st dt ? ? ? (t )dt ?1
或 F ( s ) ? ? ? (t )e? st dt ? lim ? e? st dt ? lim
0 ?

0

A ? s

0

?

0

?

?1

0

?

? ?0 0 ?

? 1 ? st e ? ?0 ? ? s 0

?

2 2 1 1 ? ? s ? s ? lim (1 ? e?? ?s ) ? lim (1 ? 1 ? ? ? ?) ? 1 1! 2! ? ?0 ? ? s ? ?0 ? ? s

例3.求指数函数f(t)= e

的拉氏变换 ? ? ? 1 ?( s ? a ) t 1 ?at ? st ?( a ? s ) t F ( s) ? ? e e dt ? ? e dt ? ? e ? 0 0 s?a s?a 0 几个重要的拉氏变换
f(t) F(s) f(t) F(s)
w s 2 ? w2 s s 2 ? w2 w ( s ? a) 2 ? w 2
s?a ( s ? a) 2 ? w 2

? at

δ (t)
1(t)

1
1/s
1 s2 1 s?a

sin wt
coswt

t

e sin wt
e cos wt
? at

? at

e

? at

3.拉氏变换的基本性质
(1)线性性质

L[af 1 (t ) ? bf 2 (t )] ? aL[ f1 (t )] ? bL[ f 2 (t )]

=aF1(s)+bF2(s) 原函数和的拉氏变换等于各原函数的拉氏变 换之和。 (2)微分性质 若 L[ f (t )] ? F ( s) ,则有 L[ f ?(t )] ? sF ( s) ? f (0) f(0)为原函数f(t) 在t=0时的初始值。

原函数二阶导数的拉氏变换

L[ f ??(t )] ? sL[ f ?(t )] ? f ?(0) ? s[sF (s) ? f (0)] ? f ?(0) ? s F (s) ? sf (0) ? f ?(0)
2

依次类推,可以得到原函数n阶导数的拉氏 变换

L[ f (t )] ? s F (s) ? s f (0) ? s
( n) n

n ?1

n?2

f (0) ? ? ? f
'

( n ?1)

(0)

若f(t)及其各阶导数的初始值都为零,则

L[ f

( n)

(t )]?s F ( s)
n

(3)积分性质

若 L[ f (t )] ? F ( s)

初始条件为零,则

F ( s) L[ ? f (t )dt ] ? s

若原函数f(t)及其各重积分初始值都等于0 则有

1 L[ ?? ? ? f (t ) dt ] ? n F ( s) s
n

(4)终值定理

lim f ( t ) ? lim sF ( s ) t ?? s?0
f ( t ) 注:若 t ? ? 时f(t)极限 lim 不存 t ?? 在,则不能用终值定理。如对正弦函数和 余弦函数就不能应用终值定理。 (5)初值定理

lim f (t ) ? lim sF ( s)
t ?0 s ??

(6)位移定理 a.实域中的位移定理 若原函数在时间 ??s 上延迟 ? ,则其象函数应乘以 e

L[ f (t ? ? ) ? 1(t ? ? )] ? e

?? ?s

F ( s)

b.复域中的位移定理 若象函数的自变 at 量延迟a,原函数应乘以 e

L[e f (t )] ? F ( s ? a)
at

三、拉氏反变换
1. 定义:由象函数F(s)求原函数f(t)的运算称 为拉氏反变换。记为 L?1[ F ( s)] ? f (t )。则

1 st f (t ) ? L [ F ( s)] ? F ( s ) e ds ( t ? 0 ) ?j? 2?j ? ?
?1

? ? j?

直接按上式求原函数太复杂,一般都用查拉 氏变换表的方法求拉氏反变换; 但F(s)必须是一种能直接查到原函数的形式。

M ( s) b0 s m ? b1s m?1 ? ? ? bm?1s ? bm F ( s) ? ? n ( m ? n) n ?1 D( s ) s ? a1s ? ? ? an ?1s ? an

若F(s)不能在表中直接找到原函数,则需要将 F(s)展开成若干部分分式之和,而这些部分分 式的拉氏变换在表中可以查到。

1 例1:求 F ( s ) ? 的 ( s ? 1)( s ? 2)( s ? 3)
拉氏反变换

2. 拉氏反变换的部分分式展开法

M ( s) b0 s ? b1s ? ? ? bm?1s ? bm F ( s) ? ? n ( m ? n) n ?1 D( s ) s ? a1s ? ? ? an?1s ? an
m

m ?1

D( s) ? 0的根 pi (i ? 1,2,?, n) 称为F(s)的极点。
只要F(s)分子的次数m小于分母次数n,且分母 没有共轭复根,都可以分解成部分分式的分子 是常数的形式 。

(1)F(s)有不同实数极点

cn c1 c2 F ( s) ? ? ??? s ? p1 s ? p2 s ? pn

ci 为常数, ci ? [ F ( s)( s ? pi )]s ? p

i

c3 1 c1 c2 ? ? ? 例1: F ( s) ? ( s ? 1)( s ? 2)( s ? 3) s ? 1 s ? 2 s ? 3
1 1 c1 ? [ ? ( s ? 1)]s ? ?1 ? ? ( s ? 1)( s ? 2)( s ? 3) 6 1 1 c2 ? [ ? ( s ? 2)]s ?2 ? ( s ? 1)( s ? 2)( s ? 3) 15

1 1 c3 ? [ ? ( s ? 3)]s ? ?3 ? ( s ? 1)(s ? 2)(s ? 3) 10 1 1 1 1 1 1 ? F (s) ? ? ? ? 6 s ? 1 15 s ? 2 10 s ? 3

(2)F(s)有共轭复数极点 例2:求拉氏反变换 F ( s) ?

s ?3 s 2 ? 2s ? 2

s ?3 s ?1 4 F ( s) ? ? ? 2 2 ( s ? 1) ? 1 ( s ? 1) ? 1 ( s ? 1) 2 ? 1

查表得

f (t ) ? e (cos t ? 4 sin t )

?t

(3)F(s)有重实数极点 假若F(s)有L重极点 p1 ,而其余极点均不相 同,那么

cl cl ?1 M (s) c1 F (s) ? ? ? ??? l l ?1 D( s) ( s ? p1 ) ( s ? p1 ) s ? p1

cl ?1 cn ? ??? s ? pl ?1 s ? pn l 其中 c l ? [ F ( s) ? ( s ? p1 ) ]s ? p1

?d l ? cl ?1 ? ? [ F ( s) ? ( s ? p1 ) ]? ? ds ?s ? p1

1 d l ?, cl ?i ? { [ F ( s )( s ? p1 ) ]}s ? p1 ,?, i! ds l ?1 1 d l c1 ? { [ F ( s )( s ? p1 ) ]}s ? p1 (l ? 1)! ds

i

cl ?1 ,?, cn 仍按(1)的方法计算,即
c j ? [ F (s)( s ? p j )]s ? p j
p j ( j ? 1,2,?, n) 是 D( s) ? 0 的互异根。

c3 1 c2 c1 c4 例3:F ( s) ? ? ? ? ? 3 3 2 s( s ? 1) ( s ? 1) ( s ? 1) s ? 1 s
1 3 c3 ? [ ( s ? 1) ]s ? ?1 ? ?1 3 s ( s ? 1) ?d 1 d 1 3 ? c2 ? ? [ ( s ? 1) ]? ? [ ( )]s ? ?1 3 ? ds s ( s ? 1) ? s ? ?1 ds s ? (? s )
?2 s ? ?1

? ?1

1 ?3 c1 ? (2 s ) ? ?1 2! s ? ?1 1 c4 ? s ?1 3 s ( s ? 1) s ?0 1 ?1 ?1 ?1 F ( s) ? ? ? ? 3 2 s ( s ? 1) ( s ? 1) s ?1
t ?t 则原函数 f (t ) ? 1(t ) ? ( ? t ? 1)e 2
2

3. 用拉氏变换法求解微分方程
步骤:(1)对微分方程进行拉氏变换; (2)根据得出的代数方程求出输出 的拉氏变换表达式; (3)将输出的拉氏变换表达式展开 成部分分式,求出各项系数; (4)查拉氏变换表,求得原函数。 例4 求解微分方程

y

( 3)

? 3 y ?? ? 3 y ? ? y ? 1, y(0) ? y ?(0) ? y ??(0) ? 0

解: 将方程中变量取拉氏变换得:

1 Y ( s) ? s( s ? 1) 1 ?1 ?1 ?1 Y (s) ? ? ? ? 3 2 s ( s ? 1) ( s ? 1) s ?1 1 2 ?t ?t ?t ? y (t ) ? 1 ? t e ? te ? e 2
3

1 S Y ( S ) ? S Y ( S ) ? SY ( S ) ? Y ( S ) ? s
3 2

例5 求解微分方程

y? ? 4 y? ? 5 y ? 0, y(0) ? y?(0) ? 1
解:将方程中变量取拉氏变换得

s 2 F ( s ) ? sf (0) ? f ?(0) ? 4sF ( s ) ? 4 f (0) ? 5F ( s ) ? 0 s?5 s?5 s?2?3 ? F (s) ? 2 ? ? 2 s ? 4s ? 5 ( s ? 2) ? 1 ( s ? 2) 2 ? 1 s?2 3 ? ? 2 2 ( s ? 2) ? 1 ( s ? 2) ? 1 ? y (t ) ? e
? 2t

cos t ? 3e

? 2t

sin t

补充习题
一、根据定义求下列各式的拉氏变换
1 1、 f (t ) ? (1 ? e ? at ) a
2、

f (t ) ? te

? at

二、求下列函数的原函数 f (t )
s?4 1、 F ( s ) ? ( s ? 1)( s ? 2)( s ? 3)
s?2 2、 F ( s ) ? ( s ? 1) 2 ( s ? 1)

3s ? 1 3、 F ( s ) ? 2 s ? 4s ? 5

三、求原函数 f (t )的终值
10 1、 F ( s ) ? ( s ? 1) 2 ( s 2 ? 2s ? 2)
K1 2、 F ( s ) ? s[ s( s ? 2)( s 2 ? s ? 10) ? K 2 ]

四、用拉氏变换法求解微分方程
d 2x dx 1、 2 ? 2 ? 5 x ? 1 dt dt
d 2x 1 2、 2 ? 9 x ? t ? 2 dt

x' (0) ? x(0) ? 0
1 1 x' (0) ? , x(0) ? 9 18

2-4 传递函数
传递函数是经典控制理论中最重要的数学模型之 一,本书主要内容均以其为基础。 利用传递函数,可以: 不必求解微分方程就可以研究零初始条件下 系统在输入作用下的动态过程; 了解系统参数或结构变化时对系统动态过程 的影响; 可以对系统性能的要求转化为对传递函数的 要求。 使系统的分析和设计大为简化?

一、传递函数的定义
1、定义:零初始条件下,系统输出量的拉氏 变换与输入量拉氏变换的比叫该系统的传递 函数。 零初始条件是指:在零时刻,系统的输入、 输出及其各阶导数均为零。因为线性化后系 统的微分方程是相对平衡点的增量方程,输 入量作用于系统之前,系统处于稳定的工作 状态,所以零初始条件是符合工程实际的。 输入经过传递函数的传递得到系统输出

例1 RC电路如图所示,求其传递函数。

R
U r ( s ) ur

it

C

uc U c ( s )

根据基尔霍夫定律

ur (t ) ? Ri (t ) ? uc (t )
duC (t ) i (t ) ? C dt

消去中间变量 i (t )

则微分方程为: RC duc (t ) ? u c (t ) ? u r (t )

dt

对上式在零初始条件下进行拉氏变换得:

uc ( s) 1 G( s) ? ? u r ( s) RCs ? 1
可用方块图表示
R( s )
C ( s ) U r ( s)
1 RCs ? 1

G (s)

U c ( s)

2、表示形式
设线性定常系统(元件)的微分方程是
dn d n?1 d a0 n c(t ) ? a1 n?1 c(t ) ? ? ? a n?1 c(t ) ? an c(t ) dt dt dt dm d m?1 d ? b0 m r (t ) ? b1 m?1 r (t ) ? ? ? bm?1 r (t ) ? bm r (t ) dt dt dt

c(t)为系统的输出,r(t)为系统输入,则零初 始条件 (c(t) 和r(t)及其各阶导数在t=0时刻 的值均为零)下,对上式两边取拉氏变换, 得到系统传递函数为:

C (s) b0 s ? b1s ? ? ? bm?1s ? bm M (s) G( s) ? ? n ? n ?1 R(s) a0 s ? a1s ? ? ? an?1s ? an N (s)
m

m ?1

式中 M ( s) ? b0 s ? b1s
m

? ? ? bm?1s ? bm n n ?1 N ( s) ? a0 s ? a1s ? ? ? an?1s ? an N ( s) ? 0 称为系统的特征方程,N(s)中s的

m ?1

最高阶次n称为系统的阶次。(m≤n) 系统传递函数还可记为
M ( s) b0 ( s ? z1 )( s ? z 2 ) ? ( s ? z m ) G( s) ? ? N ( s ) a0 ( s ? p1 )( s ? p2 ) ? ( s ? pn )

s ? zi (i ? 1,2?m)为M(s)=0的根,称为传递函 数的零点。 s ? pi (i ? 1,2?n)为N(s)=0的根,称 为传递函数的极点。

记K*=b0/a0称为根轨迹增益。这种记法 在根轨迹法中使用。 传递函数的另外一种表示形式
2 2 bm (? 1s ? 1)(? 2 s ? 2?? 2 s ? 1) ? (? i s ? 1) G( s) ? 2 2 an (T1s ? 1)(T2 s ? 2?T2 s ? 1) ? (T j s ? 1)

一次因子对应于系统实数零极点,二次因子对 应于共轭复数零极点。记K=bm/an称为增益。 这种记法在计算系统稳态误差和频率法中使用。

二、性质
(1)传递函数与微分方程对应; (2)传递函数表征了系统本身的动态特性。传 递函数只取决于系统本身的结构和参数,而 与输入和初始条件等外部因素无关; (3)实际系统m ≤ n(第五章详细解释),分子 分母多项式的系数均为实数; (4)有确定的零、极点分布图与传递函数对应 (第四章根轨迹法就是根据系统的零、极 点分布研究系统动态特性)

局限性:
(1)只能描述线性定常,单输入单输出系统; (2)不能反映中间变量的变化情况; (3)只能反映零初始条件下输入信号引起的输 出,不能反映非零初始条件下引起的输出。

三、系统传递函数的求法
(1)根据各个元部件的微分方程求出各个 元部件的传递函数; (2)消去中间变量,得到系统的传递函数

例2:求下图所示运算放大器的传递函数。其 中ur 是输入电压 ,uc是输出电压。
C

R

ur

+

uc

复数阻抗 :电阻的复数阻抗为R,电容C的复

数阻抗为1/Cs,电感L的复数阻抗为Ls。 ?Uc Ur ? 由: 1 / Cs R 则图示运算放大器的传递函数为

U c ( s) 1 ?? U r ( s) RCs
结论:运算放大器的传递函数等于反馈复阻抗 与输入复阻抗之比。

例3:求两级RC网络的传递函数

I1
Ur

R1
1 sC1

R2
U1

I2
1 sC 2

Uc

U c ( s) 1 ? U r ( s) R1C1 R2 C 2 s 2 ? ( R1C1 ? R2 C 2 ? R1C 2 ) s ? 1

注意:要考虑负载效应

由r(t)和 G(s)求输出响应c(t)
1.初始条件为零 1 例 已知系统传递函数为 G(s) ? ,c(0)=0,求 s?2 系统单位阶跃响应和单位脉冲响应。 解:单位阶跃输入时有 R( s) ? 1 / s,由定义得

1 a b 0.5 ? 0.5 C ( s ) ? G ( s ) R( s ) ? ? ? ? ? s(s ? 2) s s ? 2 s s ? 2
所以单位阶跃响应: c(t ) ? 0.5 ? 0.5e ? 2t 另--单位脉冲响应: c(t ) ? e 系统的单位脉冲响应等于系统传递函数的 拉氏反变换。
? 2t

2 .初始条件不为零


初始条件 c( 0) ? 1, c? ( 0) ? 1 求系统在单位阶跃作用下的输出c(t)。 思路:G( s) ? 微分方程 ? C(s) ? c(t) 解: c ??(t ) ? 3c ?(t ) ? 2c(t ) ? r (t ) 系统微分方程为: 对微分方程两边进行拉氏变换,得:

1 已知系统传递函数为 G( s ) ? ( s ?1)( s ? 2)

s C (s) ? sc(0) ? c?(0) ? 3[sC (s) ? c(0)] ? 2C (s) ? R(s)
2

整理得: (s 2 ? 3s ? 2)C (s) ? R(s) ? s ? 4 R( s) s?4 C (s) ? 2 ? 2 s ? 3s ? 2 s ? 3s ? 2
零状态响应 零输入响应 将R(s)=1/s 带入并整理得
1 ? s( s ? 4) a b c C ( s) ? ? ? ? s( s ? 1)( s ? 2) s s ? 1 s ? 2

用部分分式法求得:a=0.5, b=2,c=-1.5。 则 c(t ) ? 0.5 ? 2e?t ? 1.5e?2t

2-5 结构图和信号流图
一 结构图的概念和组成
1.概念
ui

u? 运算放 u1 运算放 u2

-

大器I

大器II

功率 ua 放大器

直流 电动机

wm

齿轮系 ut 测速发电机 w

速度控制系统的方块图 可清楚地看到构成系统的元部件,但不能直接 进行定量分析。

将方块图中各时间域中的变量用其拉氏变换代替, 各方框中元件的名称换成各元件的传递函数,这 时方块图就变成了结构图。
ui

u?

-

K1

u1

u2 1 K 2 (?s ? 1)

K3

ua

K1 (Tm s ? 1)

wm

1/i
ut Kt w

速度控制系统的结构图 结构图已经脱离了具体的物理结构,不同的系统 可能有相同的结构图;同一系统选择不同的中间 变量,结构图也不同。

2. 组成
(1)信号线:带有箭头的直线。箭头表示信 号的流向,在直线旁标记所传递的信号。 (2)函数方框:表示对信号进行的数学变换, 方框内的函数为方框的输入到输出的传递 函数。 X(s) Y(s)

G(s)

(3)比较点:

也称综合点

加号常省略 负号必须标出
(4)引出点: 一条信号线上的信号处处相等 ,引出点的 信号与原信号相等。

二、 结构图的绘制
(1)列写元件微分方程,注意负载效应;
(2)令初始条件为零,对微分方程进行拉氏 变换,根据元件拉氏变换方程,绘出每 个元件的单元结构图;

(3)输入置于最左端,输出置于最右端,按 信号流向,把信号连接起来,就是系统 的结构图。

例:绘制两级RC网络的结构图

I1
Ur

R1
1 sC1
U1

R2

I2
1 sC 2

Uc

从左向右列方程组
U r ( s ) ? U1 ( s) ? ? I1 ( s ) ? R1 ? 1 ? ?U1 ( s ) ? [ I1 ( s ) ? I 2 ( s )] ? sC ? 1 ? ? I ( s ) ? U1 ( s) ? U C ( s ) ? 2 R2 ? ?U ( s ) ? I ( s ) ? 1 C 2 ? sC 2 ?

画图时 R(s) G(s) C(s)

R( s ) ? G ( s ) ? C ( s )

绘图:Ur(s)为输入,画在最左边。
I1(s) 1/R1 U1(s) 1/sC1 I2(s) 1/R2

Ur(s) U1(s)

UC(s)

1/sC2

UC(s)

这个例子不是由微分方程组 代数方程组 结构图,而是直接由电路列写S域中的代数方 程,画出了结构图。

若重新选择一组中间变量:I,I1,I2

I

R1

R2

Ur
列写方程组:

1 sC1

I1

1I 2 sC 2

Uc

1 ? ?U c ( s ) ? I 2 ( s ) ? sC 2 ? ? I 2 ( s ) ? I ( s ) ? I1 ( s ) ? ? I1 ( s ) ? [U c ( s ) ? I 2 ( s ) ? R2 ] ? sC1 ? 1 1 ]? ? I ( s ) ? [U r ( s ) ? I1 ( s ) ? sC1 R1 ?

绘图
U r ( s)

?

1 I (s) R1
1 sC1

?

I 2 ( s)

1 sC 2

U c ( s)

R2
sC1

I1 ( s )

这个结构与前一个不一样,所以选择不同的 中间变量,结构图也不一样,但是整个系统 的输入输出关系是不会变的。
U c ( s) 1 G(s) ? ? U r ( s) R1 R2C1C2 s 2 ? ( R1C1 ? R2C2 ? R1C2 ) s ? 1

三、结构图的等效变换
即在结构图上进行数学方程的运算:结构图 是按照元件的拉氏变换方程组建立的,所以 方程组的消元就对应于结构图的简化;但结 构图简化比用方程组消元简便得多。

原则:结构图变换部分的输入和输出在变换
前后保持不变。

方框的合并
(1) 串联
X(s) G (s) 1 X1(s) G2(s) Y(s) X(s)



G(s)

Y(s)

Y ( s) G( s) ? ? G1 ( s ) ? G2 ( s ) X ( s) X 1 (s) Y (s) 证明: ? ? G1 ( s ), ? G2 ( s ) X ( s) X 1 ( s) Y ( s) ? ? G1 ( s )G2 ( s ) X ( s)

(2) 并联
X(s)
G1(s) G2(s) Y1(s)
Y(S)

?
Y2(s)



X(s)

Y(s) G(s)

G ( s) ? G1 ( s) ? G2 ( s) 证明:Y ( s) ? Y1 ( s) ? Y2 ( s) ? X ( s)G1 ( s) ? X ( s)G2 ( s) ? X ( s)[G1 ( s) ? G2 ( s)] ? X ( s)G ( s) ? G ( s) ? G1 ( s) ? G2 ( s)

(3) 反馈
R(s)
?

E(s) B(s)

G(s) H(s)

C(s)



R(s)

G( s) 1 ? G( s) H ( s)

C(s)

负反馈 时,推导:

C ( s) ? G( s) E ( s), E ( s) ? R( s) ? H ( s)C ( s) C (s) ? G(s)[ R(s) ? H (s)C (s)] ? G(s) R(s) ? G(s) H (s)C (s)
C ( s )[1 ? H ( s )G ( s )] ? R( s )G ( s ) C ( s) G( s) ? ?( s) ? R( s ) 1 ? H ( s )G ( s )

前向通路传递函数:G(s) 反馈通路传递函数:H(s) 开环传递函数:G(s)H(s) 闭环传递函数:G(s) /[1+G(s)H(s)],一般用Ф(s) 表示。 闭环传递函数: 前向通路传递函数 ?( s) ? 1 ? 开环传递函数
G( s) ? 1 ? G ( s) H ( s)

H(s)=1时为单位负反馈,这时闭环传递函数为:
G( s) ?( s) ? 1 ? G( s)

前向通路传递函数 正反馈 时: ?( s) ? 1 ? 开环传递函数

G( s) ? 1 ? G( s) H ( s)

例:求四种闭环传递函数
? cr (s), ? cn (s), ? er (s) , ? en ( s)

R( s ) E ( s ) G1 (s)


N (s)

G2 (s)
H ( s)

C (s)

解: C (s) 1.求? cr ( s ) ? R( s) 令N ( s ) ? 0, 结构图如(a). G1 ( s )G2 ( s ) G ( s) ? ? cr ( s ) ? ? 1 ? G ( s ) H ( s ) 1 ? G1 ( s )G2 ( s ) H ( s )

R( s )


G1 (s)

G2 (s)
H ( s)

C (s)

( a)

C (s) 求? cn ( s ) ? 2. N (s) 令R( s ) ? 0, 结构图如(b). G2 ( s) G ( s) ? ?cn( s ) ? ? 1 ? G ( s ) H ( s ) 1 ? G2 ( s )G1 ( s ) H ( s )

N (s)


G2 (s)
G1 (s)

C (s)

H ( s)

( b)

3. 求? er ( s) ? E ( s)
R( s) 令N ( s ) ? 0, 结构图如(c), G(s) 1 ? er ( s ) ? ? 1 ? G ( s ) H ( s ) 1 ? H ( s )G1 ( s )G2 ( s )
R( s )

E (s)

H ( s)
G2 (s)

G1 ( s)

(c)

E ( s) 4.求? en ( s ) ? N ( s) 令R( s ) ? 0, 结构图如(d ), G(s) ? G2 ( s) H ( s) 正反馈 : ? en ( S ) ? ? 1 ? G ( s ) H ( s ) 1 ? (?G2 ( s) H ( s)G1 ( s ))

?G2 ( s) H ( s) ? 1 ? G1 ( s)G2 ( s) H ( s)
H ( s)
-1

N (s)

G2 ( s)

E (s)

G1 ( s)

( d)

从上面看出,当系统在输入信号和干扰信 号同时作用下的输出 C ( s ) 为

C (s) ? ? cr (s) R(s) ? ?cn (s) N (s)
G1( s)G2 ( s) G2 ( s) ? R( s) ? N ( s) 1 ? G1( s)G2 ( s) H ( s) 1 ? G1( s)G2 ( s) H ( s)

当系统在输入信号和干扰信号同时作用下 的偏差为:
E (s) ? ?er (s) R(s) ? ?en (s) N (s)
1 ? G2 ( s) H ( s) ? R( s) ? N ( s) 1 ? G1( s)G2 ( s) H ( s) 1 ? G1( s)G2 ( s) H ( s)

?从上面四种传递函数中可看出,它们的 分母相同,都等于1加上开环传递函数, 称为系统的特征式。 比较点和引出点的移动
H2 ? s?
R ?s?
- -

G1 ? s ?
H1 ? s ?

G2 ? s ?


G3 ? s ?
H3 ? s ?

C ?s?

四、信号流图的概念和组成
信号流图源于梅森用图示法描述一个或一组线 性代数方程式。信号流图和结构图一样,是控 制系统中各变量间数学关系的一种图解表示 法,利用信号流图可以更方便的求出系统的传 递函数。

节点:系统中的变量(信号) 组成 支路:连接节点,标上支路增益

1.节点:表示系统中的信号,用“ ”表示, 同时具有叠加的作用。
2.支路:连结两个节点的有向线段,表示了 一个信号对另一个信号的函数关系,用增 益或传递函数表示。若增益为负数,标上 “-”,为正则略。支路是有方向性的。

X 2 ( s ) ? aX 1 ( s ) ? bX 2 ( s) ? cX 4 ( s )

方程组

X 3 ( s ) ? dX 2 ( s) X 4 ( s ) ? eX 1 ( s ) ? fX 3 ( s ) X 5 ( s) ? gX 3 ( s ) ? hX 4 ( s )

用信号流图表示:
e b

X1

a

d

f

h

X2
c

X3
g

X4

X5

注:所有支路必须标出方向及增益

五、信号流图中的常用术语
1. 源节点:只有输出支路的节点,一般是系统 的输入信号,也叫输入节点。 2. 阱节点:只有输入支路的节点,一般是系统 的输出信号,也叫输出节点。 注:输出变量不一定总是阱节点,可以变为阱 节点。
d f

x1

a b

x2

c

x3

e

x4

x4

3. 混合节点:既有输入支路也有输出支路, 通常是系统的中间变量。 4. 前向通路及前向通路增益 前向通路:从源节点开始到阱节点为止通过 任何节点不多于一次的通路; 前向通路中各支路增益的乘积,叫前向通路 增益。 5. 回路及回路增益 回路:起点和终点在同一节点且通过其他节 点不多于一次的闭合通路;回路中各支路增 益的乘积叫回路增益。

6. 不接触回路 相互间没有公共节点的回路。

x1 a x2
b

c e

x3 f x4
g

L1 ? ab, L2 ? ec, L3 ? fg
不接触回路为 回路增益分别为

L1 , L3 L1 ? ab, L3 ? fg

六、信号流图的绘制
根据系统微分方程组绘制 由系统的结构图绘制 每个变量指定一个节点 1. 根据微分方程组: 微分方程组 信号流图。
零初始条件 拉氏变换 因果关系

代数方程组

例1. ? r (t ),? c (t ) 分别为系统输入和输出, 试绘制信号流图
? ? (t ) ? ? r (t ) ? ? c (t ) e1 (t ) ? k1? ? (t ) ? H1e3 (t ) e2 (t ) ? k 2 e1 (t ) ? H 2? c (t )
de3 (t ) ? e3 (t ) ? e2 (t ) dt d 2? c ? e3 (t ) 2 dt

?? ( s ) ? ? r ( s ) ? ? c ( s ) E1 ( s) ? k1?? ( s) ? H1E3 (s) E2 ( s) ? k2 E1 (s) ? H 2?C (s)
E2 SE3 (s) ? E3 (s) ? E2 (s) ? E3 (s) ? s ?1 E3 2 S ?C (s) ? E3 (s) ? ?C ( s) ? 2 s

先从输入变量 ? r (s) 着手画:

?r

1

? ? k1 E1 k2 E2

1 s ?1

E3

? H2
1 s2

?c 1 ?c

?1 前向通路只有一条,增益:
1 1 k1k 2 P ? 2 ? 2 1 ? k1k 2 ? s ?1 s s ( s ? 1) ? H2 k 2 H1 回路有3 条: La1 ? 2 , La 2 ? ? s ( s ? 1) s ?1 k1k 2 La 3 ? ? 2 不存在不接触回路。 s ( s ? 1)

? H1

2.由系统结构图绘制信号流图
对应关系: 结构图 信号线 函数方框 比较点 引出点 节点 信号流图

支路

结构图

X ( s)

G( s)
G( s)

Y ( s)

信号流图 X ( s)

Y ( s)

某系统中,放大器的输入是两电压信号之差, 结构图为:
u?

?

- ut

ka

ua


用信号流图表示为:

u?

? ka
-1

ua

ut

例2. 根据结构图绘制系统的信号流图:
H1

R


E1

G1

E2 - E3
G3

G2

E4

C

H2
R 1

E1 G1 E2 1 E3

? H1

G2

E4 1

c1

c

? H2

G3

七、梅森公式
根据信号流图求出系统的传递函数
一般采用梅森公式:
C ( s) R( s)

1 P ? ? Pk ? k ? k ?1

n

P: 输入节点到输出节点的增益,即所要求的 传递函数。

n: 从输入节点到输出节点的前向通路总数。

Pk :从输入节点到输出节点第k条前向通路 的增益。

? :信号流图的特征式。
? ? 1 ? ? La ? ? Lb Lc ? ? Ld Le L f ? ?

? L :所有单独回路的增益之和。
a

? L L :所有每两个互不接触回路增益乘积
b c

之和。
e f

?L L L
d

:所有每三个互不接触回路增益乘 积之和。

? k :第k条前向通路特征式的余因子,即把

与第k条前向通路相接触的回路除去以后 的 ? 值。

C ( s) 例1. 求 ? ( s) ? R( s)
i R a b g c h d e f C

j

解:求?, 找回路:L1 ? i, L2 ? cdh, 不接触回路不存在,?? ? 1 ? ( L1 ? L2 )

? 1 ? (i ? cdh)

前向通道 : p1 ? abcdef , ?1 ? 1.
p3 ? abcjf , ? 3 ? 1. p? ? ?? ( s ) ?
k

p2 ? agjf , ? 2 ? 1 ? L1 ? 1 ? i. p4 ? agdef , ? 4 ? 1 ? L1 ? 1 ? i.
k

?

代入后,得

abcdef ? agjf (1 ? i) ? abcjf ? agdef (1 ? i ) ? (s) ? 1 ? (i ? cdh)

C (s) . 例2. 求 ? ( s) ? R( s)
e R(s) f a b c d C(s)

g
k

h

解:求 ? :找回路:

L1 ? f , L2 ? bg , L3 ? ch, L4 ? ek , L5 ? bck , L6 ? egh
不接触回路 : L1 L4 ? fek , ?? ? 1 ? ( L1 ? L2 ? L3 ? L4 ? L5 ? L6 ) ? L1 L4 . 前向通道 : P 1 ? abcd , ?1 ? 1; P 2 ? aed , ? 2 ? 1 ? L1 ? 1 ? f

?? ( s ) ?

?p ?
k ?1 k

2

k

abcd ? aed (1 ? f ) ? 1 ? f ? bg ? ch ? ek ? bck ? egh ? ekf

?

例3 求 C(s)/R(s) , E(s)/R(s) , C(s)/N(s), C(s)
G3 (s)
R (s)

N (s)

E (s)
?

G1 ( s )

G2 (s)
?

C (s)

H 1(s)

H 2 (s) H 3 (s)

(1) C(s)/R(s) :

L1 ? ?G1 H 1 , L2 ? ?G2 H 2 , L3 ? ?G1G2 H 3

两两互不接触回路有L1L2

P1 ? G1G2 , ? 1 ? 1 P2 ? G3G2 , ? 2 ? 1 ? (?G1 H 1 ) G1G2 ? G3G2 (1 ? G1 H 1 ) C (s) ? R( s ) 1 ? G1 H 1 ? G2 H 2 ? G1G2 H 3 ? G1G2 H 1 H 2
(2) E(s)/R(s) :

L1 ? ?G1 H 1 , L2 ? ?G2 H 2 , L3 ? ?G1G2 H 3

两两互不接触回路仍为L1L2 无论输入输出是什么,回路是不变的,所以 Δ 不变

P1 ? 1, ?1 ? 1 ? G2 H 2 P2 ? ?G3G2 H 3 , ? 2 ? 1 1 ? G2 H 2 ? G3G2 H 3 E (s) ? R( s) 1 ? G1 H 1 ? G2 H 2 ? G1G2 H 3 ? G1G2 H 1 H 2

(3) C(s)/N(s):

C ( s ) G2 (1 ? G1 H 1 ) ? N ( s) ? C (s) E (s) 分母?与 , 的均相同 R( s) R( s)
(4) C(s):

C ( s) C ( s) C (s) ? ? R( s) ? ? N (s) R( s) N ( s) [G1G2 ? G3G2 (1 ? G1 H 1 )] ? R( s) ? (1 ? G1 H 1 ) ? N ( s) ? 1 ? G1 H 1 ? G2 H 2 ? G1G2 H 3 ? G1G2 H 1 H 2

例4. 求所示系统的传递函数
G1 ( s)

R( s )
- -

C ( s)
G2 ( s)

回路:L1 ? G1 ? (?1) ? G2 ?1 ? ?G1G2

L2 ? 1? G1 ?1? (?1) ? ?G1 L3 ? 1? G2 ?1? (?1) ? ?G2 L4 ? 1? G1 ? (?1) ? G2 ?1? (?1) ? G1G2 L5 ? 1? G2 ?1? G1 ? (?1) ? ?G1G2

? ? ? 1 ? ? Li ? 1 ? ( L1 ? L2 ? L3 ? L4 ? L5 )
? 1 ? G1G2 ? G1 ? G2 ? G1G2 ? G1G2 ? 1 ? G1G2 ? G1 ? G2

前向通路:P 1 ? 1?1? G1 ?1 ? G1 , ?1 ? 1. P2 ? 1?1? G2 ?1 ? G2 , ? 2 ? 1. P3 ? 1?1? G1 ? (?1) ? G2 ?1 ? ?G1G2 , ? 3 ? 1. P4 ? 1?1? G2 ?1? G1 ?1 ? G1G2 , ? 4 ? 1.
? G(s) ?

?P?
k ?1 k

4

k

?

G1 ? G2 ? 1 ? G1G2 ? G1 ? G2




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