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2019(安徽专版)秋沪科版八年级数学上册课件: 第15章全章热门考点综合应用(共43张PPT)教育精品.ppt_图文

第十五章 轴对称图形与等腰三角形
全章热门考点综合应用

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考点 1 两个概念
概念1 轴对称图形 1.(中考·北京)甲骨文是我国的一种古代文字,是汉字的
早期形式,下列甲骨文中,不是轴对称图形的是( D )
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概念2 轴对称 2.观察图①~④中的左右两个图形,它们是否成轴对称?
如果是,请画出其对称轴.

解:题图①②③中的左右两个图形成轴对称,题图④中 的左右两个图形不成轴对称.题图①②③中成轴对 称的两个图形的对称轴如图所示.
点拨 3题 返回

点拨: 判断两个图形是否成轴对称,关键是理解、应用 两个图形成轴对称的定义,即看两个图形能否沿一 条直线折叠后重合.若重合,则两个图形关于这条 直线成轴对称,否则不成轴对称.
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考点 2 六个性质
性质1 轴对称的性质 3.如图,将四边形纸片ABCD沿AE向上
折叠,使点B落在DC边上的点F处. 若△AFD的周长为24 cm,△ECF的 周长为8 cm,求四边形纸片ABCD的 周长.

解:由题意可知,△ABE和△AFE关于直线AE成轴对称, 所以AB=AF,BE=FE.因为△AFD的周长为24 cm, △ECF的周长为8 cm,即AD+DF+AF=24 cm, FC+CE+FE=8 cm,所以四边形纸片ABCD的周长 为AD+DC+BC+AB=AD+DF+FC+CE+BE+ AB=(AD+DF+AF)+(FC+CE+FE)=24+8= 32(cm).
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性质2 线段的垂直平分线的性质 4.如图,在△ABC中,AB=AC,D是AB
的中点,且DE⊥AB,△BCE的周长为 8 cm,且AC-BC=2 cm,求AB,BC 的长.

解:∵△ABC中,AB=AC,D是AB的中点,且DE⊥AB, ∴AE=BE. ∵△BCE的周长为8 cm,即BE+CE+BC=8 cm, ∴AC+BC=8 cm ①. 又AC-BC=2 cm ②, ①+②得,2AC=10 cm,即AC=5 cm,故AB=5 cm; ①-②得,2BC=6 cm,即BC=3 cm.
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性质3 等腰三角形的性质

5.如图,△ABC内有一点D,且DA=DB

=DC.若∠DAB=20°,∠DAC=

30°,则∠BDC的度数是( A )

A.100° B.80°

C.70°

D.50°

点拨 6题 返回

点拨:
(方法一)因为DA=DB,所以∠DBA=∠DAB=20°. 因为DA=DC,所以∠DCA=∠DAC=30°.在△ABC中, 有∠DBC+∠DCB=180°-2×20°-2×30°=80°. 所以∠BDC=180°-(∠DBC+∠DCB)=180°-80° =100°.

点拨:
(方法二)在△ADB中,由方法一可得∠ADB= 180°-2×20°=180°-40°=140°.同理 ∠ADC=180°-2×30°=120°.所以∠BDC= 360°-140°-120°=100°.故选A.
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性质4 等边三角形的性质 6.(中考·深圳)如图,过边长为3的
等边三角形ABC的边AB上一点P, 作PE⊥AC于E,Q为BC延长线上 一点,当PA=CQ时,连接PQ交边 AC于点D,求DE的长.

解:过P作PF∥BC交AC于F, ∵PF∥BC,△ABC是等边三角形, ∴∠PFD=∠QCD,∠APF=∠B=60°,∠AFP= ∠ACB=60°,∠A=60°, ∴△APF是等边三角形,∴AP=PF=AF. ∵PE⊥AC,∴AE=EF.

解:∵AP=PF,AP=CQ,∴PF=CQ.

在△PFD和△QCD中?? PF D ? ? Q C D ,

? ?

?

P

D

F

?

?QDC

,

∴△PFD≌△QCD,??∴PFF?DQ=CC, D.

∵AE=EF,∴EF+FD=AE+CD,

∴AE+CD=DE= AC.∵AC=3,∴DE= .

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2

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性质5 含30°角的直角三角形的性质 7.如图,在Rt△ABD中,∠ADB=90°,∠A=60°,
作DC∥AB,且∠DBC=∠BDC,DC与BC交于点C, CD=4.求: (1)∠CBD的度数; (2)AB的长.

解:(1)在Rt△ABD中, ∵∠A=60°,∠ADB=90°, ∴∠ABD=30°. ∵AB∥CD,∴∠CDB=∠ABD=30°. 又∵∠DBC=∠BDC,∴∠CBD=∠CDB=30°.

解:(2)如图,过点C作CM⊥BD于点M,交AB于点E,连 接DE, ∵∠DBC=∠BDC,∴BC=CD. 又∵CM⊥BD,∴DM=MB, ∴CE为线段BD的垂直平分线, ∴DE=EB, ∴∠EDB=∠EBD=30°. ∵∠CDM=30°,∠CMD=90°,

解:∴CM=1 CD=1 ×4=2.又∵∠EBM=∠CBM=30°, ∠EMB=2 ∠CM2 B=90°,BM=BM,
∴△EBM≌△CBM,∴EM=CM=2.∵∠EDM=30°, ∠EMD=90°,∴DE=2EM=4.∵∠DEA=∠EDB+ ∠EBD=60°,∠A=60°,∴∠DEA=∠A,∴AD =DE=4.又∵∠ADB=90°,∠ABD=30°,∴AB= 2AD=8.
点拨 8题 返回

点拨: 含30°角的直角三角形的性质常与直角三角形的两
个锐角互余同时运用,此性质是求线段长度和证明线段 倍分问题的重要依据.
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性质6 角平分线的性质 8.如图,在正方形ABCD中,点E
是BC的中点,点F在CD上, ∠EAF=∠BAE.求证:AF= BC+FC.

解:证明:如图,过点E作EG⊥AF,垂足为点G.连接EF. ∵∠BAE=∠EAF,∴AE为∠BAF的平分线. 又∵EB⊥AB,EG⊥AF,∴EB=EG. 在Rt△ABE和Rt△AGE中,
∴Rt△ABE≌Rt△AGE (H? LE )B.? E G , ∴AB=AG.∵在正方形AB??CADE 中? ,A EA, B=BC,

解:∴BC=AG.又∵点E是BC的中点,

∴BE=EC=EG.在Rt△EGF和Rt△ECF中,

?EG ? EC,

∴Rt△EGF≌Rt△ECF(HL).

? ?

E

F

?

EF

,

∴GF=CF,

∴AF=AG+GF=BC+FC.

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考点 3 四个判定
判定1 线段的垂直平分线的判定 9.如图,AD为△ABC的角平分线,
DE⊥AC于点E,DF⊥AB于点F, EF交AD于点M,试说明:AD垂 直平分EF.

解:因为AD为△ABC的角平分线,DE⊥AC,DF⊥AB, 所以DE=DF.所以点D在线段EF的垂直平分线 上.因为∠FAD=∠EAD,∠AFD=∠AED=90°, AD=AD,所以△AFD≌△AED.所以AF=AE.所以 点A在线段EF的垂直平分线上.所以AD为线段EF的 垂直平分线,即AD垂直平分EF.
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判定2 等腰三角形的判定 10.如图,已知等腰三角形ABC中,AB=
AC,AE : EM : MB=1 : 2 : 1,AD : DN : NC=1 : 2 : 1,连接MD,NE交于 点O,求证:△OMN是等腰三角形.

解:证明:在△ABC中,因为AB=AC,且AE : EM :

MB=1 : 2 : 1,AD : DN : NC=1 : 2 : 1,所以AD

= AC,AE= AB= AC,所以AE=AD.1同理

AM=1 AN.

4

4

在△ADM与△AEN中?,A D ? A E ,

? ?

?

M

AD

?

?

N

A

E

,

?? AM ? AN ,

解:所以△ADM≌△AEN,所以∠AMD=∠ANE. 又因为AM=AN,所以∠AMN=∠ANM, 所以∠AMN-∠AMD=∠ANM-∠ANE,即 ∠OMN=∠ONM,所以△OMN是等腰三角形.
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判定3 等边三角形的判定 11.如图所示,锐角三角形ABC中,∠A
=60°,它的两条高BD,CE相交于 点O,且OB=OC,求证:△ABC是 等边三角形.

解:证明:∵OB=OC,∴∠OBC=∠OCB.∵锐角三 角形ABC的两条高BD,CE相交于点O,∴∠BEC =∠BDC=90°.又∵∠BOE=∠COD,∴∠EBO =∠DCO.∴∠ABC=∠ACB.∴AB=AC.∴△ABC 是等腰三角形.∵∠A=60°,∴△ABC是等边三 角形.
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判定4 角平分线的判定 12.已知:如图,AB=AC,BD=CD,DE⊥AB交AB的
延长线于点E,DF⊥AC交AC的延长线于点F,求证: DE=DF.

解:证明:连接AD.∵AB=AC,BD=CD,AD=AD, ∴△ABD≌△ACD,∴∠BAD=∠CAD, ∴AD是∠EAF的平分线.∵DE⊥AB,DF⊥AC, ∴DE=DF.
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考点 4 一个应用—角平分线的应用
13.如图,三条公路两两相交于A,B,C三点,现计划修建 一个超市,要求这个超市到三条公路的距离相等,则可 供选择的地方有多少处?(阴影部分不能修建超市)

解:如图所示. ①作出△ABC的两个内角的平分线, 其交点为O1; ②分别作出△ABC的外角平分线, 其交点分别为O2,O3. 故满足条件的修建点有三处,即点 O1,O2,O3
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考点 5 两种思想
思想1 方程思想 14.如图,△ABC是等腰三角形,AB
=AC,在△ABC的外部分别作等边 三角形ADB和等边三角形ACE.若 ∠DAE=∠DBC,求△ABC三个内 角的度数.

解: 因为△ADB和△ACE都是等边三角形,所以 ∠DAE=∠DAB+∠BAC+∠CAE=60°+ ∠BAC+60°=120°+∠BAC,∠DBC=60°+ ∠ABC.又因为∠DAE=∠DBC,所以120°+ ∠BAC=60°+∠ABC,即∠ABC=60°+ ∠BAC.
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又因为AB=AC,所以∠ACB=∠ABC=60°+ ∠BAC.设∠BAC=x°,因为∠BAC+2∠ABC =180°,所以x+2(x+60)=180,解得x=20.所 以∠ACB=∠ABC=60°+∠BAC=60°+20° =80°.
所以△ABC三个内角的度数分别为20°,80°, 80°.
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思想2 分类讨论思想 15.在等腰三角形ABC中,∠A比∠B的2倍少50°,
求∠B的度数.

解:
设∠B的度数为x°.因为∠A比∠B的2倍少50°,所 以∠A的度数为2x°-50°.因为∠A+∠B+∠C= 180°,所以∠C=180°-(2x°-50°)-x°= 230°-3x°.当AB=AC时,有∠B=∠C,则x=230 -3x.解得x=57.5.

当AB=BC时,有∠A=∠C,则2x-50=230-3x.解 得x=56.当AC=BC时,有∠A=∠B,则2x-50=x. 解得x=50.综上所述,∠B的度数为57.5°或56°或 50°.
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点拨: 本题要求的是等腰三角形的内角,这类问题通常
要分类讨论.怎样讨论是解题的重点和难点.本题 巧妙地采用设未知数的方法,使得三个角都能用含 未知数的式子来表示,再根据等腰三角形顶角、底 角的情况进行分类.
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梦栖皖水江畔 心驻黄山之巅 情系安徽学子 相约《点拨训练》




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