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《数学物理方法》第2章_11-2009级

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第2章 复数与复变函数
2.1. 复变积分的定义和性质 2.2. 解析函数的柯西定理 原函数与定积分公式 2.3.解析函数的柯西公式 复变函数的积分是研究解析函数性质的重要 工具 解析函数特有的积分性质(包括柯西定理、柯 西公式、高阶导数公式和最大模定理等,它 们是今后解决许多理论与实际问题的重要基 础)
1

§ 2.1复变积分的定义和性质
本节讨论复变积分的定义和性质; 作为第4章的预备知识,在给定条件下分 别计算f(z)及f(z)eimz沿无穷大半圆周的积 分.

§2.1.1 复变函数积分的定义
设L为复*面上的曲线,函 数f(z)在L上有定义,如图 2.1所示将曲线L任意分成n 段,xk是第k段[zk-1,zk] 上的任一点.令n→∞,且 每一段的长度|Dz|→0时, 若和式的极限

?

存在,且与弧段的分法及各xk的选取无关,则称此 极限为f(z)沿曲线L的积分,记作

3

§2.1.2 复变积分的计算方法 (1) 化为两个实变线积分计算. 将f(z) = u+iv及dz = dx+idy代入,即有 (2.1.3)

(2) 化为参数积分计算.设积分曲线L的参数方程 为z(t),将z(t)及dz(t)=z'(t)dt代入式(2.1.4),可得

4

【例2.1.1】计算积分I=
? ? ?

其中曲线L是

(1)沿1+ i 到2+4 i 的直线,见图2.2(a); (2)沿1+ i 到2+i,再到2+4 i 的折线,见图2.2(b); (3)沿抛物线x=t, y=t2,其中1≤ t ≤2,见图 2.2(c).

5

解 (1) 直线方程为

先将 z=x+iy 代入被积表达式, 随后将 y=3x-2 代入,即有

6

(2) 在1+i到2+i段 有 y=1,dy=o; 在2+i到2+4i段 有 x=2,dx=0, 因而

7

(3) 将z=x+iy=t(1+it)及dz=(1+i2t)dt 代入,即有

x=t, y=t2

?

本题沿三个不同路径的积分值相同,但是 “积分与路径无关”这个结果不是必然的, 见*题2.1.1.它仅对解析函数成立,详见2.2
8

§2.1.3 复变积分的性质
?

深人浅出、学以致用 既然复变积分可归结为实变积分,因此,复变 积分的许多性质是实变积分的直接推广。对

于这些性质,我们将不加证明地叙述.
?

(1)若曲线L依次由n段线段l1, l2,… ln组成,则

?

(2)掉转积分路径的方向,积分变号,即

?

式中l-与l重合,但方向相反
9

(3) 若f1(z)与f2(z)沿L的积分存在,则

(2.1.10)
上式还可推广为有限多项函数和、差的情形. (4) 被积函数中的任意复常数a 可提出积分号外, 即

10

(5) 复变积分的模不大于被积函数的模沿曲线 的实变线积分,即

?

证明由实变函数线积分的定义出发,并利用 “矢量之和的长度不大于矢量长度之和” , 以及复变积分的定义,即有

11

(6)若在曲线 l 上, max|f(z)|=M, 曲线 l 的长度为 l ,则

12

【2.1.2】试证明,若z在**面及实轴上趋 于∞时, zf(z)一致地趋于零(与辐角无关),即

?

则f(z)沿图2.3中无穷大半圆周CR的积分

?

证明 式(2.1.16)中的 积分是一个复数,只 要证明,当R→∞时这 个复数的模为零,则 式(2.1.16)得证.

13

根据复变积分性质(5)及式(2.1.15),易得

14

【2.1.3】试证明 若当(Jordan)不等式

?

?

?

证明 分别作出 y1=2q/p 及 y2 = sinq 的函数 曲线图(图2.4). 易见在开区间 (0,p/2)中,有 sinq >2q/p ; 而在闭区间[0,p/2 ]的端点,有sinq = 2q/p。
15

【2.1.4】试证明 若当引理:若z在** 面及实轴上趋于∞时,f(z)一致地趋于零 (与辐角无关),则

式中m>0,CR是以原点 为圆心、R为半径的上 半圆周,参看图2.3.

16

证明 当z 在CR上时,z=Reiq,由复变积 分性质(5)可得

?

将积分(2.1.19)分为两项: 0由p/2的积分与由p/2 到p的积分.第二项先作变换 q = p-j,再用q 表示j,两项合并后利用若当不等式,即有
17

18

综合式(2.1.20)和式(2.1.19)式,并利用题设条件

(2.1.21)
?

?

由复变积分性质(5)导出的例2.1.2和例2.1.4这 两个结论,将会启发我们怎样用留数定理计 算实变积分,见4.2节. 对于解析函数的积分,还具有一些特有的性 质,由2.2节、2.3节介绍的柯西定理、柯西公 式、最大模定理等反映.
19

作业- §2.1

第31页

2.1.1; 2.1.2;2.1.3

20

§2.2 解析函数的柯西定理 原函数与定积分公式
柯西定理是解析函数积分理论的基本定理,它 给出解析函数的一个重要性质—解析函数在其 解析区域取值的关联性. C-R条件是在解析点从微分角度反映f(z)的实部 与虚部取值的关联性;柯西定理则是在解析区 域从积分的角度反映f(z)在积分回路上取值的关 联性. 在柯西定理的基础上,还将介绍解析函数的原 函数、定积分公式,以及在实际计算中非常有 用的小圆弧引理与大圆弧引理.

§2.2.1单通区域的柯西定理
?

定理 若函数f(z)在单通区域D 内解析,则f(z)在D内沿任意 闭曲线的积分为零 ∮l f(z)dz = 0 (2.2.1)
证明 这个定理的严格证明比较复 杂, 为简单起见, 我们在“f(z)在D 内连续” 附加条件下证明这个定 理.

?

?

先将复变积分化为两个实变积 分的线性叠加

(2.2.2)
22

其次, 考查上述两个实变积分在什么条件下为零?

设l为D内任一闭曲线(图2.5), 若函数P(x,y), Q(x,y) 以及 在D内连续,则格林公式 成立

?

由f(z)在 D内解析及 f’(z)在D内连续可得u,v及 ux,uy,vz,vy连续,将格林公式与C-R条件代入式(2.2.2), 可得

(2.2.4)
23

推论1 若f(z)在闭单通区域 中解析,则 f(z)沿 的边界L的积分为零.
?

证明 按定义, f(z)在包含 的某个开区域D+内 解析,这样 的边界线L就是D +内部的一条 闭曲线.根据柯西定定理可知, f(z)沿L的积分 为零 (2.2.5)

24

推论2 若f(z)在单通区域D内解析,则 ∫l f(z)dz 与路径无关。
?

?

证明 设A、B分别为两积分 曲线的起点和终点,如图2.6 所示. 因为l1,与l2- (l2- 与l2重合但反 向)构成闭曲线l,由柯西定 理可得
(2.2.6)

?

移项,利用复变积分的性质(2),即有

(2.2.7)
25

§2.2.2 原函数与定积分公式
既然单通区域中解析函数的积分与路径无关, 设积分路径的起点为定点z0,终点为动点z, 则 积分上限的函数 (2.2.8) 是单通区域内的单值函数,现在证明它是f (z) 的原函数.

26

定理 若f(z)是单通区域D内的解析函数,则
也是D内的解析函数,且

?

证明 由 先计算 F(z+Dz)-F(z)。利用 式(2.2.8)及复变积分 的性质(1),可得
27

?

由于解析函数的积分与路径无 关,不妨取z到z+Dz的积分路 径为直线(图2.7).考虑到解析 函数必连续,因而任给e>0, 必存在d>0,使当|x-z|<d,有 |f(x)-f(z)|<e (2.2.11)

?

利用式(2.2.10)和式(2.2.11),以及复变积分 的性质(5),可得

28

这表明,当Dz→0时, 极限为f(z),即



?

定理得证.

(2.2.13)

?

f(z)的原函数不是唯一的

29

30

f(z)的原函数不是唯一的
式中C为任意复常数.由于 G(z)也是f(z)的原函数. 令z=z0代入式(2.2.14),可得

?

?

?

将C=G(z0)代入式(2.2.14)得
31

?

这就是解析函数的定积分公式,它与实变 函数中的牛顿-莱布尼茨公式具有相同的形 式。

?

通常把f(z)的原函数的集合

称f(z)的不定积分,式中C为复常数。

32

(2.2.8)

33

§2.2.3 复通区域的柯西定理
?

定理 若f(z)在闭复通区域 解析,则f(z)沿所 有内、外边界线(L=L0+ )正方向积分 之和为零 (2.2.18)

?

“正方向”是指,当沿内、 外边界线环行时,D保持在 左边.换句话说,外边界线取
逆时针方向,内边界线取顺时 针方向,如图2.8所示.作为约 定,今后积分号中没标明方向 的积分均沿正方向.
34

?

证明 为了应用单通区域的柯西定理,作割线把外边界线 L0与内边界线连接起来,将闭复通区域变成闭单通区域。

35

推论3 在f(z)的解析区域中,积分回路连 续变形时,其积分值不变.
?

证明 取变形前后的积分回路 作为复通区域 的内外边界 线,如图2.9所示.由式 (2.2.21a) 可得

移项后,改变l2的积分方向,即有

36

【例2.2.1】试证明
式中a点在积分回路 l 之内, dnm为克罗内克 (Kronecker)符号(简称d符号),其定义为

?

?

证明 (1)当n≥0时,被积函数(z-a)n为解析函数, 故 0 n≥0
37

(2)当n=-1,则a点为f(z)的奇点
?

根据柯西定理的推论3, 积分回路可连续变形为 以a点为圆心的单位圆 C(图2.10).在单位圆C上 有

38

?

(3)当n <-1,a点仍为f(z)的奇点.仿上可得

?

综合以上三式,即有

?

这个公式在计算洛朗系数(3.4节)及证明留数定理 (4.2节)时均要用到.
39

【2.2.2】试计算

?

其中积分回路分别(图2.11) (1) |z-i|=2;(2) |z+i|=2;(3) |z|=3.

40

解 首先,将被积函数分解为部分分式(利用通 分可以凑出来)

≠0

=0

41

42

【例2.2.3】若f(z)=1/(z-a) 在z=a的无心邻域内 连续,积分回路是以a点为圆心的圆弧

43

§2.2.4 小圆弧引理与大圆弧引理
1.小回弧引理 ? 若j(z)在z=a的无心邻域内连续,在小圆弧

?

一致成立,则
44

?

证明 根据极限的定义,式(2.2.32)表明,任给 e>0,存在与arg(z- a)无关的d (e)>0,使当 |z- a|=r<d 时,有 |(z- a)j (z)- k|<e (2.2.34)

?

复变积分性质(5)及式(2.2.34),可证

45

由于e可任意地小,(q2-q1)为常量,式

(2.2.35)表明
可任意地小根据极限的定义,可得

46

2.大圆弧引理
?

若j(z)在无穷远点的无心邻域内连续,在大 圆弧CR(z=Reiq, R→∞,q1<q<q2 )上

?

?

这个引理的证明方法与小圆弧引理相似,留 给读者作为练*(*题2.2.4). 这两个引理为计算沿圆弧的积分带来方便. 2.3节将分别用来证明单通区域及无界区域的 柯西公式.
47

作业- §2.2

第39页

2.2.1(1), (3) 2.2.2 2.2.4*

48

§2.3 解析函数的柯西公式
从柯西定理和大、小圆弧引理出发证明解 析函数的柯西公式; 证明建立在柯西公式 基础上的高阶导数公式、柯西不等式、* 均值定理、最大模定理及刘维尔(Liouville) 定理(部分内容见本节*题); 最后,介绍 “柯西型积分”并证明其解析.

§2.3.1 柯西公式
1.单通区域的柯西公式 ? 设f(z)在单通区域 解 析,a为 的内点,则

(2.3.1)
式中L为 的边界线,见图2.12. 证明 利用柯西定理的推论3,将积分回路连 续变形为以a为心,r为半径的小圆周Cr,如 图2.12.由于积分的结果与r的大小无关(保证 Cr在 内),故可取r→0的积分值表示之,令
50

?

?

易见j(z)在a的无心邻域内连续,将式(2.3.2) 代入的式(2.2.32)便有 (2.3.3)

?

将k=f(a)及q1-q2=2p代入小圆弧引理,得

?

式(2.3.4)就是单通区域的柯西公式.
51

?

?

?

单通区域的柯西公式表明,解析函数f(z)在边界 L上的取值完全确定f(z)在D内各点的取值,进一 步显示了解析函数取值的关联性. 应用柯西公式要注意两点:一是f(z)在以L为边 界的闭区域解析;二是a点在L的内部. 由于a点在D内随意变动时,柯西公式依然成立, 有时分别用z和x代替式 (2.3.1)的a和z。将柯西公 式改写为

52

53

【例2.3.2】试计算积分,
积分回路L为x2 + y2=2x 解 (1) 积分回路的形状.方 程x2 + y2=2x经配方后可化 为 (x-1)2+y2=1 ? 它是圆心在(1,0),半径 为1的圆,见图2.14.

(2)被积函数的奇点. ? 方程z4+1=0有四个根:z=exp[i (p+2kp)/4], k=0,1,2,3,因此,被积函数有四个奇点,但仅有 z1与z4位于积分回路之内
54

(3)按复通区域的柯西定理及柯西公式计算以小圆周c1 和c2分别包围奇点z1和z4 ,则被积函数在外边界线l 与内边界线c1 , c2 所围的复通区域解析。按复通区 域的柯西定理,沿l的积分等于沿C1与C2积分之和, 后两个积分可按柯西公式算出,即

已将z1 、 z2 、z3和 z4 的值代入。

55

2. 复通区域的柯西公式
?

设f (z)在闭复通区域D中解析,a为D的内点, (z)在闭复通区域 中解析,a为 的内点, 则 式中积分沿D的内外边界线的正方向.

?

证明 设 的边界线 L由外边界线L0及内 边界线L1, L2, ... Ln组成。作割线, 将复通区域变为单 通区域,
56

?

由单通区域的柯西公式,并注意到沿每一割 线两岸的积分互相抵消,便有

57

3. 无界区域的柯西公式
?

设 f(z)在积分回路l及 l外解析,z点为l外一 点,且



(2.3.9)

58

?

证明 (1)由闭复通区域的柯 西公式出发。以坐标原点 为圆心,以R为半径作一大 圆弧CR,使闭合回路l及z点 在其内部(图2.16). 令R→∞,f(z)在以l和CR为 内、外边界的复通区域 中解析,由复通区域的柯 西公式可得

O

?

59

(2) 运用大圆弧引理,证明式(2.3.10)沿CR的积分 为零.为此,取

?

将上式代入式(2.2-37),并利用无界区域柯西 公式的条件 可得

(2.3.12)
60

?

将式(2.3.11)、式(2.3.12)代入大圆弧定理,便 有

(2.3.13)
?

既然式(2.3.10)的第一个积分为零,无界区域 的柯西公式得证.

61

§2.3.2 高阶导数公式
?

若f(z)在 内解析,z为 的内点,则f(z)在D内 可求导任意多次,且 (2.3.14)

?

证明 柯西公式可表示为
(2.3.15)

?

为了考察f(z)的导数是否存在,将式(2.3.15)代 入导数的定义式,可得
62

63

?

前己证明,式(2.3.16)可交换取极限与求积 分的顺序(*题2.1.4),由此得 (2-3.17)
类似地,将式(2-3.17)代入导数定义式,可 证明 (2.3.18) 应用数学归纳法,便可证明式(2.3.14). 高阶导数公式显示出复变函数与实变函数 的一个重大差别:复变函数只要一阶导数 存在,则其任意阶导数均存在,并且各阶 导数连续.
64

?

?

?

【例2.3.3】 试计积分I =
?

解 函数f(z)=2z2- z+1在 l 及其内部解析, z=1在 l 的内部,符合应用高阶导数公式的条 件,分母为(z-1)3意味着n=2,故

65



f ( z ) = e - z cos z 在复*面解析, 因为函数

z0 = 0 在 z ? 1 内, n=1, 根据 高阶导数公式.

定理2.6 设函数f (z)在单 2pi - z e - z cos z ? z 2 dz = 1! (e cos z )? z=0 C是D内分段光滑(或可求长 z =1

= 2pi[-e cos z - e sin z ]

-z

-z

C的内部区域, 则f (z)在z0处
z =0

= -2pi .
f
( n)

n! f (z) ( z0 ) = ? 2p i ?C ( z - z0 )n?1
66

典型例题

解 由 Cauchy积分公式 ,
1 = f (z ) 1 1 z( z ? i ) = z0 是D内的一个点, C是任意一条含 z0 在内部区域 = 2 z0 = i , z ( z ? 1) z ( z ? i )( z - i ) z-i 的分段光滑(或可求长) Jordan曲线, 则
定理2.5 设f (z)是单连通区域D上的解析函数,

?
z-i =

1 d 1 f ( z )z fzz z= ? ?1) dz . (() 2 1 2 πi z - z
0 C 0

2

1 = 2pi ? = -pi . z( z ? i ) z =i

67

例2.13

设C表示正向圆周 x 2 ? y 2 = 3,

3x 2 ? 7x ? 1 f (z) = ? dx , 求 f ?(1 ? i ). C x -z
解 根据 Cauchy积分公式, 当z在C内时,
f ( z ) = 2πi ? 3x ? 7x ? 1
2
0

? C是任意一条含 z 在内部区域 3z ? = 2p i ? z 是D内的一个点,
x 0= z

定理2.5 设f (z)是单连通区域D上的解析函数,

2

? 7z ? 1 .

?

于是 f ?( z ) = 2p i (6 z ? 7), 而1+i 在C内, 所以
1 f (z) f ( z0 ) = ? dz . f ?(1 ? i2πi=C z2-p0( -6 ? 13i ). ) z
68

的分段光滑(或可求长) Jordan曲线, 则

1 1 (1) C : z ? 1 = ; (2) C : z - 1 = ; (3) C : z = 2. 2 2

解 (1) 根据 Cauchy积分公式 , p 定理2.5 设f (z)是单连通区域D上的解析函数, sin z p 4 z0 是D内的一个点, C是任意一条含 z0 在内部区域 sin z 4 = ? z - 1 d z = 2 pi ? 的分段光滑(或可求长) Jordan曲线, 则 z -1 1 z?1
z ?1 = 2

=

1 f (z) f ( z0 ) = ? dz . Cz-z 0 2 2 πi

z = -1

2

p i.

69

(2) 根据 Cauchy积分公式 ,
定理2.5 设f (z)是单连通区域D上的解析函数, z0 是D内的一个点, C是任意一条含 z0 在内部区域 的分段光滑(或可求长) Jordan曲线, 则
f ( z0 ) = 1 f (z) ?C z - z0 dz. 2 πi p

sin z 4 = 2 p i. = 2 pi ? 2 z ?1
z =1

70

(3) 根据 复合闭路定理以及前面的结果,
定理2.4 设 C , C1 , C 2 ,? , C n是多连通区域D内

p π p sin z sin z 都在C 的内部, 它们互不包含也互不相交, 并且以 sin z 4 dz ? 4 dz 4 dz = ? 1 z2 - 1 ?C ,Cz 2,C-,?,C 为边界的闭区域含于D内. 若 f?(z)1 z 2 - 1 1 z =2
分段光滑(或可求长) Jordan曲线, C1 , C 2 ,? , C n 都
1 2 n

是 D上的解析函数, z ?1 = 那么

2
C
C1

z -1 =
C3

2

? ?

C

f ( z )dz = ? ? f ( z )dz , ?
k =1 Ck

n

C2

其中C和Ck(1?k?n)取正向. = pi

2 2

2 ? pi = 2pi . 2
D

71

例2.15
z = r > 1:

计算下列积分, 其中C是正向圆周

解 (1) 因为函数

cos p z

? z - 1?

5

在C内z=1处不解析,

但 cos p z 在C内处处解析, 所以根据 高阶导数公式.

?C

p 5 i 设函数 cos pz 2 pi . dz = (cos pz )( 4 ) z =1 = - 定理2.6 5 12 ( z - 1) (5 - 1)!
72

C是D内分段光滑(或

ez (2) 函数 2 2 在C内的 z = ? i 处不解析. ( z ? 1)
在C内分别以i 和 -i 为中心作正向圆周 C1 和 C2,

e 则函数 2 2 在由 C , C1 , C 2 ( z ? 1)
围成的区域内解析, 所以由

z

y
C1
?i

C
x

o
C2
?-i

复合闭路定理
定理2.4 设 C , C1 , C 2 ,? , C n是多连通区域D内 z

e ?C ( z 2 ? 1)2 在C 的内部, 它们互不包含也互不相交, 并且以

段光滑(或可求长) Jordan曲线, C1 , C 2 ,? , C n 都 dz

C1 , C 2 ,? , C n 为边界的闭区域含于D内. 若 f (z)

73

ez ?C1 ( z 2 ? 1)2 dz = ?C1 ? z 2pi ? e ? (1 - i )e i = p. ? ( z ? i )2 ? = ( 2 - 1)! ? 2 ?
z =i

e ( z ? i )2 dz 2 (z - i)

z

y
C1
?i

C
x

o
C2
?-i

于是

?C

(1 - i )e i - (1 ? i )e - i ez p? p dz = 2 2 2 2 ( z ? 1)

p = (1 - i )(e i - ie - i ) = ip (sin 1 - cos 1). 2

74



ez (1) n ?0时, 函数 n 在 z ? 1上解析. z

定理2.3 (Cauchy积分定理) 设f (z)是单连 由 得

区域 D上的解析函数,则对D内的任何可求

Jordan曲线C, 都有

=0

? ( z z = 0. ? f(2))dn=1时,
C

由 Cauchy积分公式得

C

z e 定理2.5 设f (z)是单连通区域D上的解析函数, dz = 2pi ? (e z ) = 2p i . n ? z0 z该定理的主要部分是 说明:是D内的一个点, C是任意一条含 z0 在内部区域 z =0 z =1

Cauchy 于1825 年建立的, 则 的分段光滑(或可求长) Jordan曲线,

75

(3) n>1时, 根据 高阶导数公式.

定理2.6 设函数f (z)在单连通区域

C是D内分段光滑(或可求长)的Jorda

可得
z

C的内部区域, 则f (z)在z0处存在各阶

e ? z n dz = ( n - 1)! z =1

n! f (z) f ( n ) ( z0 )(=-1 ) ? 2 pi z n ? C ( z - z0 )n?1 dz ? n = ( e ) 2p i
z =0

其中C取正向.

2 pi = . ( n - 1)!

76

【例2.3.4】已知y(t,q)=exp(2tq-t2 ),求证

?

证明 (1) 将高阶导数公式变形.高阶导数公 式为 现在y?t,q)依赖于t与q,故对t的导数应改写为 偏导数

?

77

(2) 作变换:x = q- z 注意到 exp(2xq-x2) = exp[2(q-z)q-(q-z)2] = exp(q2-z2),上式变为

?

最后一个等式再次利用了高阶导数公式.
78

在第6章将会指出,
是厄米(Hermite)多项式Hn(q)的生成函数
这是指把y(t,q)对t展成泰勒级数

其展开系数 Hn(q)就是厄米多项式.
79

§2.3.3 最大模定理
设f(z)在 上解析,则|f(z)|在 的边界L上取最大值 证明 关于[f(z)]n的柯西公式为
?

?

设f(x) 在L上的最大值为M,|x-z|的最小值为 d,边界L的长度为l(图2.17),代入式(2.3.19), 则有

80

81

两边开n次方,得

因为上式对任意n均成立,令n? ∞,考虑到 式(2.3.2.1)即为 |f(z)|≤ M (2.3.22)

这表明,对于D内的任意z点,其|f(z)|不 大于L上|f(x)|的最大值M,即|f(z)|在 的边界 上取最大值.
82

§2.3.4 柯西型积分
?

设 f(x) 在一条光滑曲线 l 上连续,z 为曲线 l 外的一点,形如

的积分称为柯西型积分,可以证明F(z)是解 析函数.
?

证明 如果 l 是闭曲线,并且 f(x) 在 l 及其内 部解析,柯西公式表明 F(z) 就是 f(z).

83

?

现在只知道f(x)在l上连续,l 可闭合也可不闭 合.为了证明F(z)解析,可以通过交换取偏 导与求积分的次序也得到

?

这表明,对于曲线外的任一点z,F(z)的导数均 存在.既然F(z)在z的邻域内点点可导,故F(z) 在曲线 l 外任一点是解析函数.这样,今后只 要把积分化为柯西型积分,它就是解析的.
84

本章内容总结
复变函数的积分 积分的性质

积分存在的 条件及计算

Cauchy积分定理

Cauchy 积分公式
高阶导数 公式

复合 闭路 定理

原函数 的概念 NewtonLeibniz公式
85

本章的重点 1. Cauchy积分定理 2. 复合闭路定理

3. Cauchy积分公式与高阶导数公式
4. 复变函数积分的计算

86

作业- §2.3

第45页

2.3.1-(1) (4) 2.3.2-(1) (4) 2.3.5

87

Thanks




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